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Assunto: Álgebra 2 > Tema 9

Lição 3: Simetria

Simetria dos polinómios

Aprende a determinar se uma função polinomial é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma função é par se o seu gráfico for simétrico relativamente ao eixo dos

y y

Algebricamente, uma função

f

é uma par se

f (- x) = f (x)

para todo o

x

Uma função é ímpar se o seu gráfico for simétrico relativamente à origem.

Algebricamente, uma função

f

é ímpar se

f (- x) = - f (x)

para todo o

x

Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas a nossa introdução à simetria de funções.

O que vais aprender nesta lição

Vamos aprender como determinar se um polinómio é par, ímpar, ou nenhum dos dois, com base na expressão do polinómio.

Caso em que o polinómio é um monómio

Um monómio é um polinómio da forma

f (x) = a x^{n}

onde

a

é um número real e

n

é um inteiro maior ou igual a

0

Vamos analisar a simetria de vários monómios para vermos se podemos criar condições gerais para que um monómio seja par ou ímpar.

Em geral, para determinar se uma função

f

é par, ímpar, ou nem par nem ímpar, analisamos a expressão para

f (- x)

Se $f (- x)$ ‍ é o mesmo que $f (x)$ ‍, então sabemos que $f$ ‍ é par.
Se $f (- x)$ ‍ é simétrico a $f (x)$ ‍, então sabemos que $f$ ‍ é ímpar.
Caso contrário, nem é par nem ímpar.

Como primeiro exemplo, vamos determinar a paridade de

f (x) = 4 x^{3}

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & Simplificar \\ = - f (x) & Pois f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

Aqui

f (- x) = - f (x)

, e por isso a função

f

é ímpar.

Agora tenta alguns exemplos sozinho para veres se és capaz de encontrar um padrão.

1) A função $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?

2) A função $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?

Conclusão

Dos problemas acima, vemos que se

f

é um monómio de grau par, então a função

f

é par. Da mesma forma, se

f

é um monómio de grau ímpar, então a função

f

é ímpar.

	Função Par	Função Ímpar
Exemplos	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Em geral	$f (x) = a x^{n}$ ‍ onde $n$ ‍ é $par$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍ onde $n$ ‍ é $ímpar$ ‍

Isto acontece porque

(- x)^{n} = x^{n}

quando

n

é par e

(- x)^{n} = - x^{n}

quando

n

é ímpar.

Esta é provavelmente a razão pela qual as funções pares e ímpares têm os nomes que têm!

Paridade de uma função polinomial

Vamos examinar a paridade de polinómios com mais do que um termo.

Exemplo 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Para determinar se

f

é par, ímpar, ou nem par nem ímpar, calculamos

f (- x)

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} quando n é par \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & Simplificar \\ = f (x) & Pois f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

Como

f (- x) = f (x)

, a função

f

é par.

Repara que todos os termos de

f

têm grau par.

Exemplo 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Novamente, começamos por calcular

g (- x)

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} quando n é ímpar \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & Simplificar \end{aligned}

Repara que cada termo em

g (- x)

é o simétrico de um termo em

g (x)

. Por outras palavras,

g (- x) = - g (x)

, e portanto

g

é uma função ímpar.

Nota que todos os termos de

g

têm grau ímpar.

Exemplo 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Vamos calcular

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} e (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & Simplificar \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

não é igual a

h (x)

e também não é o oposto de

h (x)

A função

h

não é par nem ímpar, pois

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

Repara que

h

tem um termo com grau par e um termo com grau ímpar.

Conclusão

Normalmente, podemos determinar se um polinómio é par, ímpar, ou nem par nem ímpar examinando cada termo individualmente.

‍	Regra geral	Exemplo de polinómio
Par	Um polinómio é par se cada termo for uma função par.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Odd	Um polinómio é ímpar se cada termo for uma função ímpar.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
Nem par nem ímpar	Um polinómio nem é par nem é ímpar se for composto por funções pares e funções ímpares.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Testa o teu conhecimento

3) A função $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍ é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?

Primeiro, vamos decidir se cada termo de

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

é uma função par ou ímpar.

$- 3 x^{4}$ ‍ é uma função par, pois é um monómio com grau $par$ ‍.
$- 7 x^{2}$ ‍ é uma função par, pois é um monómio com grau $par$ ‍.
$5$ ‍ é uma função par pois é um monómio de grau $par$ ‍. Repara que pode ser escrito como $5 \cdot x^{0}$ ‍.

Como cada termo do polinómio é por si só uma função par (com grau par), o polinómio também é par.

Também podíamos ver isto algebricamente mostrando que

f (- x) = f (x) .

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n} por até n \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & Simplificar \\ = f (x) \end{aligned}

4) A função $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍ é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?

Primeiro, vamos decidir se cada termo de

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

é uma função par ou ímpar.

$8 x^{7}$ ‍ é uma função ímpar, pois é um monómio com grau $ímpar$ ‍.
$- 6 x^{3}$ ‍ é uma função ímpar, pois é um monómio com grau $ímpar$ ‍.
$x^{2}$ ‍ é uma função par pois é um monómio de grau $par$ ‍.

Como a expressão do polinómio contém termos pares e termos ímpares, o polinómio não é par nem ímpar.

Também podemos verificar algebricamente, pois

g (- x)

não é

g (x)

nem

- g (x)

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & Simplificar \end{aligned}

5) A função $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍ é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?

Primeiro, vamos decidir se cada termo de

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

é uma função par ou ímpar.

$10 x^{5}$ ‍ é uma função ímpar, pois é um monómio com grau $ímpar$ ‍.
$2 x^{3}$ ‍ $- x$ ‍ é uma função ímpar, pois é um monómio com grau $ímpar$ ‍.
$- x$ ‍ é uma função ímpar pois é um monómio de grau $ímpar$ ‍. Repara que pode ser escrito como $- 1 \cdot x^{1}$ ‍.

Como cada termo individual do polinómio é uma função ímpar (com grau ímpar), o polinómio também é ímpar.

Também podíamos ver isto algebricamente mostrando que

h (- x) = - h (x) .

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} quando n é ímpar \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & Simplificar \\ = - h (x) \end{aligned}

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Álgebra 2

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Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Caso em que o polinómio é um monómio

Conclusão

Paridade de uma função polinomial

Exemplo 1: f(x)=2x4−3x2−5‍

Exemplo 2: g(x)=5x7−3x3+x‍

Exemplo 3: h(x)=2x4−7x3‍

Conclusão

Testa o teu conhecimento

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Exemplo 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Exemplo 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Exemplo 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍