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Simetria dos polinómios

Aprende a determinar se uma função polinomial é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma função é par se o seu gráfico for simétrico relativamente ao eixo dos yy.
Algebricamente, uma função f é uma par se f(x)=f(x) para todo o x.
Uma função é ímpar se o seu gráfico for simétrico relativamente à origem.
Algebricamente, uma função f é ímpar se f(x)=f(x) para todo o x.
Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas a nossa introdução à simetria de funções.

O que vais aprender nesta lição

Vamos aprender como determinar se um polinómio é par, ímpar, ou nenhum dos dois, com base na expressão do polinómio.

Caso em que o polinómio é um monómio

Um monómio é um polinómio da forma f(x)=axn onde a é um número real e n é um inteiro maior ou igual a 0.
Vamos analisar a simetria de vários monómios para vermos se podemos criar condições gerais para que um monómio seja par ou ímpar.
Em geral, para determinar se uma função f é par, ímpar, ou nem par nem ímpar, analisamos a expressão para f(x):
  • Se f(x) é o mesmo que f(x), então sabemos que f é par.
  • Se f(x) é simétrico a f(x), então sabemos que f é ímpar.
  • Caso contrário, nem é par nem ímpar.
Como primeiro exemplo, vamos determinar a paridade de f(x)=4x3.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Simplificar=f(x)Pois f(x)=4x3
Aqui f(x)=f(x), e por isso a função f é ímpar.
Agora tenta alguns exemplos sozinho para veres se és capaz de encontrar um padrão.
1) A função g(x)=3x2 é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?
Seleciona a opção correta.

2) A função h(x)=2x5 é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?
Seleciona a opção correta.

Conclusão

Dos problemas acima, vemos que se f é um monómio de grau par, então a função f é par. Da mesma forma, se f é um monómio de grau ímpar, então a função f é ímpar.
Função ParFunção Ímpar
Exemplos g(x)=3x2h(x)=2x5
Em geralf(x)=axn onde n é parf(x)=axn onde n é ímpar
Isto acontece porque (x)n=xn quando n é par e (x)n=xn quando n é ímpar.
Esta é provavelmente a razão pela qual as funções pares e ímpares têm os nomes que têm!

Paridade de uma função polinomial

Vamos examinar a paridade de polinómios com mais do que um termo.

Exemplo 1: f(x)=2x43x25

Para determinar se f é par, ímpar, ou nem par nem ímpar, calculamos f(x).
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn quando n é par=2x43x25Simplificar=f(x)Pois f(x)=2x43x25
Como f(x)=f(x), a função f é par.
Repara que todos os termos de f têm grau par.

Exemplo 2: g(x)=5x73x3+x

Novamente, começamos por calcular g(x).
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn quando n é ímpar=5x7+3x3xSimplificar
Repara que cada termo em g(x) é o simétrico de um termo em g(x). Por outras palavras, g(x)=g(x), e portanto g é uma função ímpar.
Nota que todos os termos de g têm grau ímpar.

Exemplo 3: h(x)=2x47x3

Vamos calcular h(x).
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 e (x)3=x3=2x4+7x3Simplificar
2x4+7x3 não é igual a h(x) e também não é o oposto de h(x).
A função h não é par nem ímpar, pois h(x)h(x) e h(x)h(x).
Repara que h tem um termo com grau par e um termo com grau ímpar.

Conclusão

Normalmente, podemos determinar se um polinómio é par, ímpar, ou nem par nem ímpar examinando cada termo individualmente.
xRegra geralExemplo de polinómio
ParUm polinómio é par se cada termo for uma função par.f(x)=2x43x25
OddUm polinómio é ímpar se cada termo for uma função ímpar.g(x)=5x73x3+x
Nem par nem ímparUm polinómio nem é par nem é ímpar se for composto por funções pares e funções ímpares.h(x)=2x47x3

Testa o teu conhecimento

3) A função f(x)=3x47x2+5 é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?
Seleciona a opção correta.

4) A função g(x)=8x76x3+x2 é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?
Seleciona a opção correta.

5) A função h(x)=10x5+2x3x é par, ímpar, ou nem par nem ímpar?
Seleciona a opção correta.

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