Introdução à simetria da função

Uma forma tem uma simetria por reflexão se permanecer inalterada após uma reflexão em relação a uma reta.

Por exemplo, o pentágono acima tem simetria por reflexão.

Nota como a reta $l$‍ é um eixo de simetria, e que a figura é uma imagem espelhada de si mesma usando essa reta para a reflexão.

A ideia de simetria por reflexão também pode ser aplicada a gráficos, como vamos ver.

Diz-se que uma função é par se o seu gráfico for simétrico em relação ao eixo dos $yy$‍.

Por exemplo, a função $f$‍ representada abaixo é uma função par.

Verifica isto tu mesmo arrastando o ponto no eixo dos $xx$‍ da direita e para a esquerda. Repara que o gráfico permanece inalterado após uma reflexão em relação ao eixo dos $yy$‍!

Uma função $f$‍ é par se $f(-x)=f(x)$‍ para todos os valores de $x$‍ possíveis.

Por exemplo, para a função par representada na figura abaixo, nota como é que a simetria em relação ao eixo dos $yy$‍ garante que $f(x)=f(-x)$‍ para todo o $x$‍.

Uma função é ímpar se o seu gráfico for simétrico relativamente à origem.

Em termos visuais, isto significa que podes rodar a figura um ângulo de ${180}^{\circ }$‍ relativamente à origem, e o gráfico permanece inalterado.

Outra forma de visualizar a simetria relativamente à origem é imaginado uma reflexão segundo o eixo dos $xx$‍ seguida de uma reflexão segundo o eixo dos $yy$‍. Se isto deixar o gráfico da função inalterado, então ele é simétrico relativamente à origem.

Por exemplo, a função $g$‍ representada na figura abaixo é uma função ímpar.

Verifica isto tu mesmo arrastando o ponto no eixo dos $yy$‍ de cima para baixo (para refletires a função sobre o eixo dos $xx$‍), e o ponto no eixo dos $xx$‍ da direita para a esquerda (para refletires a função sobre o eixo dos $yy$‍). Repara que esta é a função original!

Uma função $f$‍ é ímpar se $f(-x)=-f(x)$‍ para todos os valores de $x$‍ possíveis.

Por exemplo, para a função ímpar representada abaixo, nota como é que a simetria da função garante que $f(-x)$‍ é sempre o simétrico de $f(x)$‍.