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Assunto: Álgebra 2 > Tema 13

Lição 6: Multiplicação e divisão de expressões racionais

Multiplicação de expressões racionais

Aprende a calcular o produto de duas expressões racionais.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Podemos simplificar expressões racionais ao eliminar fatores comuns do denominador e do numerador.

Se não estás familiarizado com isto, recomendamos os seguintes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Aqui, vais aprender a multiplicar expressões racionais.

Multiplicar frações

Para começar, vamos relembrar como se multiplicam frações numéricas.

Considera o seguinte exemplo:

\begin{aligned} \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{9} \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} & Cancelar fatores comuns \\ = \frac{5}{6} & Multiplicar \end{aligned}

Para multiplicar as duas frações, fatorizámos os numeradores e os denominadores, cancelámos fatores comuns e multiplicámos os fatores restantes no numerador e no denominador.

Podemos fazer isto devido à forma como se multiplicam frações!

No produto de duas frações, o numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.

Por exemplo,

$\begin{aligned} \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{9} & = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \end{aligned}$ ‍

Assim, podemos cancelar os

2

e os

3

. Estes fatores passaram a pertencer a uma só fração através do processo de multiplicação de frações.

Exemplo 1: $\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x}$ ‍

Podemos multiplicar expressões racionais da mesma forma que multiplicamos frações numéricas.

\begin{aligned} \frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x} \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3 \cdot x} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ (Nota: x \neq 0) \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3 \cdot x} & Cancelar fatores comuns \\ = \frac{x}{3} & Multiplicar \end{aligned}

Repara que a expressão original está definida para

x

tal que

x \neq 0

. Quando simplificámos o produto, esta informação perdeu-se. Por isso, temos de especificar que

x \neq 0

para obter uma expressão equivalente.

A expressão simplificada do produto é:

\frac{x}{3}

quando

x \neq 0

Testa o teu conhecimento

1) Calcula e simplifica.

\frac{4 x^{6}}{5} \cdot \frac{1}{12 x^{3}} =

para

x \neq

\begin{aligned} \frac{4 x^{6}}{5} \cdot \frac{1}{12 x^{3}} \\ = \frac{4 \cdot x^{3} \cdot x^{3}}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot x^{3}} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ (Nota: x \neq 0) \\ = \frac{4 \cdot x^{3} \cdot x^{3}}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot x^{3}} & Cancelar fatores comuns \\ = \frac{x^{3}}{15} & Multiplicar \end{aligned}

Repara que a expressão original está definida para

x

tal que

x \neq 0

. Quando simplificámos o produto, esta informação perdeu-se. Por isso, temos de especificar que

x \neq 0

para obter uma expressão equivalente.

A expressão simplificada do produto é:

$\frac{x^{3}}{15}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3}$ ‍

Mais uma vez, fatorizamos os denominadores e os numeradores de ambas as expressões, eliminamos os fatores comuns e efetuamos as multiplicações restantes. Por fim, temos de ter em conta as restrições da expressão original.

\begin{aligned} \frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3} \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{5}{x - 3} & Fatorizar os denominadores e nos numeradores \\ (Nota: x \neq - 1 e x \neq 3) \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{5}{x - 3} & Cancelar fatores comuns \\ = \frac{x + 2}{x + 1} & Multiplicar \end{aligned}

A expressão original está definida para qualquer

x

tal que

x \neq - 1

x \neq 3

. A expressão simplificada do produto deve conter as mesmas restrições.

O produto de duas expressões racionais é indefinido para qualquer valor para o qual pelo menos uma das expressões a multiplicar não esteja definida.

Testa o teu conhecimento

2) Calcula e simplifica.

\frac{5 x^{3}}{5 x + 10} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} =

Quais são as restrições do domínio da expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{5 x^{3}}{5 x + 10} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} \\ = \frac{5 \cdot x^{2} \cdot x}{5 (x + 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{x^{2}} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ (Nota: x \neq - 2 e x \neq 0) \\ = \frac{5 \cdot x^{2} \cdot x}{5 (x + 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{x^{2}} & Cancelar fatores comuns \\ = x (x - 2) & Multiplicar \end{aligned}

A expressão do produto só está definida para valores de

x

tais que

x \neq - 2

x \neq 0

. Estas restrições são provenientes das expressões originais. A primeira expressão não está definida para

x = - 2

e a segunda não está definida para

x = 0

3) Calcula e simplifica.

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{x - 4}{x - 3} =

Quais são as restrições do domínio da expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{x - 4}{x - 3} \\ = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 4}{x - 3} & Fatorizar os denominadores e os numeradores \\ (Nota: x \neq 4, x \neq - 2 e x \neq 3) \\ = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 4}{x - 3} & Cancelar fatores comuns \\ = \frac{x + 3}{x + 2} & Multiplicar \end{aligned}

A expressão do produto só está definida para valores de

x

tais que

x \neq - 2

x \neq 3

x \neq 4

. Estas restrições são provenientes das expressões originais. A primeira expressão não está definida para

x = - 2

nem para

x = 4

e a segunda não está definida para

x = 3

O que se segue?

Se já estás à vontade a multiplicar expressões racionais, podes avançar para a divisão de expressões racionais.

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Álgebra 2

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Multiplicar frações

Exemplo 1: 3x22⋅29x‍

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: x2−x−65x+5⋅5x−3‍

Testa o teu conhecimento

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Exemplo 1: $\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{9 x}$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \cdot \frac{5}{x - 3}$ ‍