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Simplificação de expressões racionais (avançado)

Já sabes as bases da simplificação da expressão racional? Ótimo! Agora ganha mais experiência com alguns exemplos mais complicados.

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

Uma expressão racional é um quociente entre dois polinómios. Uma expressão racional é irredutível se estiver simplificada ao ponto de não haver fatores comuns entre o denominador e o numerador.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução à simplificação de expressões racionais.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, irás praticar a simplificação de expressões racionais um pouco mais complicadas. Vamos analisar dois exemplos, e depois poderás resolver alguns problemas!

Exemplo 1: Simplificar space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Apesar de o numerador ser um monómio, ele também pode ser fatorizado.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
Passo 2: Registar as condições da expressão
Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições x, does not equal, 0 e x, does not equal, 9.
Passo 3: Eliminar fatores comuns
25xx22x(x9)=25xx22x(x9)=5x2x9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Passo 4: Resposta
A expressão simplificada é:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction para x, does not equal, 0

A reter

Neste exemplo, vamos ver que por vezes temos de fatorizar monómios para chegar a uma expressão irredutível.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Exemplo 2: Simplificar space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador
Aqui, reparamos que o fator 3, minus, x pode ser escrito como o produto de minus, 1 por x, minus, 3. Assim, conseguimos encontrar um fator comum de x, minus, 3.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)Comutatividade\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Comutatividade}}} \end{aligned}
Passo 2: Registar as condições da expressão
Com o denominador fatorizado, encontramos as restrições x, does not equal, 3 e x, does not equal, minus, 1.
Passo 3: Eliminar fatores comuns
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
O último passo, em que efetuamos o produto de minus, 1 com o outro monómio do numerador, não era necessário, mas é comum fazer-se.
Passo 4: Resposta
A expressão simplificada é:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction para x, does not equal, 3

A reter

Os fatores x, minus, 3 e 3, minus, x são simétricos, uma vez que minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
Neste caso, os dois fatores foram eliminados mas apareceu um minus, 1. Por outras palavras, o quociente entre x, minus, 3 e 3, minus, x foi substituído por start text, negative, 1, end text.
O quociente entre expressões simétricas da forma a, minus, b e b, minus, aminus, 1 no caso em que a, does not equal, b.

Testa o teu conhecimento

2) Simplifica start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

3) Simplifica start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Vamos resolver mais problemas

4) Simplifica start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

5) Simplifica start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Simplifica start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.