Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

As raízes de um polinómio

f

correspondem às interseções do gráfico de

y = f (x)

com o eixo dos

x x

Por exemplo, vamos supor que

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Como as raízes da função

f

são

- 3

1

, o gráfico de

y = f (x)

irá intersetar o eixo dos

x x

(- 3, 0)

(1, 0)

Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo sobre zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Precisamos de mais informação de forma a fazermos um bom esboço, embora as interseções com o eixo dos

x x

sejam uma característica importante do gráfico de uma função.

Conhecendo o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode ajudar-nos a fazer um esboço do gráfico da sua função.

Neste artigo, vamos aprender como determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo e relacionar com o gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinómio entre quaisquer duas raízes consecutivas é sempre positivo ou sempre negativo.

[Porquê?]

Por exemplo, considera a função representada definida por

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

A partir do gráfico, vemos que

f (x)

é sempre ...

...negativa quando $- \infty < x < - 1$ ‍.
...positiva quando $- 1 < x < 1$ ‍.
...negativa quando $1 < x < 3$ ‍.
...positiva quando $3 < x < \infty$ ‍.

No entanto, não é necessário que uma função polinomial mude de sinal entre as raízes.

Por exemplo, considera a função representada definida por

g (x) = x (x + 2)^{2}

A partir do gráfico, vemos que

g (x)

é sempre...

...negativa quando $- \infty < x < - 2$ ‍.- ...positiva quando $- 2 < x < 0$ ‍.
...negativa quando $0 < x <$ ‍.
...positiva quando $< x < \infty$ ‍.

Repara que

g (x)

não muda de sinal em torno de

x = - 2

Determinar o sinal de uma função polinomial

Vamos encontrar os intervalos para o quais o polinómio

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

é positivo e os intervalos para os quais é negativo.

A função

f

anula-se em

- 3

1

. Estes dois números determinam três intervalos nos quais o signal de

f

é constante:

Vamos encontrar o sinal de

f

para

- \infty < x < - 3

Sabemos que

f

será sempre positiva ou negativa neste intervalo. Podemos saber o sinal de

f

avaliando a função para um valor neste intervalo. Como

- 4

está neste intervalo, vamos encontrar

f (- 4)

Como aqui só estamos interessados no sinal do polinómio, não nos interessa conhecer o valor exato de

f (- 4)

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Avalia apenas o sinal da resposta. \\ = (-) (+) & Um sinal negativo ao quadrado é um sinal positivo. \\ = - & Um sinal negativo a multiplicar por um sinal positivo é um sinal negativo. \end{aligned}

Aqui vemos que

f (- 4)

é negativo, e portanto

f (x)

será sempre negativo para

- \infty < x < - 3

Podemos repetir o processo para os intervalos que restam.

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

A tabela abaixo mostra um resumo dos resultados.

Intervalo	Valor de $f (x)$ ‍ para um $x$ ‍ específico dentro do intervalo	Sinal de $f$ ‍ no intervalo	Conexão com o gráfico de $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	negativo	Abaixo do eixo dos $x x$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) > 0$ ‍	positivo	Acima do eixo dos $x x$ ‍
$1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	positivo	Acima do eixo dos $x x$ ‍

Isto é consistente com o gráfico de

y = f (x)

Testa o teu conhecimento

1) A função polinomial

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

tem raízes

x = - 6

x = - 1

Qual é o sinal de $g$ ‍ no intervalo $- 6 < x < - 1$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

5) A função polinomial

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

tem raízes

x = - 5

x = 2

, e

x = 3

Qual é o sinal de $h (x)$ ‍ no intervalo $- 5 < x < 2$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Desafio

3*) Qual dos gráficos seguintes pode ser o gráfico de $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo é fazendo um esboço do seu gráfico, com base nas multiplicidades das raízes e no comportamento do polinómio no limite infinito.

Vê o nosso artigo sobre gráficos de polinómios para mais detalhes.

Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 5

Intervalos positivos e negativos dos polinómios

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

Intervalos positivos e negativos

Determinar o sinal de uma função polinomial

Testa o teu conhecimento

Desafio

Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

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