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Conteúdo principal

Intervalos positivos e negativos dos polinómios

Sabe mais sobre a relação entre os zeros de polinómios e os conjuntos de valores para os quais os polinómios são positivos ou negativos.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

As raízes de um polinómio f correspondem às interseções do gráfico de y=f(x) com o eixo dos xx.
Por exemplo, vamos supor que f(x)=(x+3)(x1)2. Como as raízes da função f são 3 e 1, o gráfico de y=f(x) irá intersetar o eixo dos xx em (3,0) e (1,0).
Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo sobre zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Precisamos de mais informação de forma a fazermos um bom esboço, embora as interseções com o eixo dos xx sejam uma característica importante do gráfico de uma função.
Conhecendo o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode ajudar-nos a fazer um esboço do gráfico da sua função.
Neste artigo, vamos aprender como determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo e relacionar com o gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinómio entre quaisquer duas raízes consecutivas é sempre positivo ou sempre negativo.
Por exemplo, considera a função representada definida por f(x)=(x+1)(x1)(x3).
A partir do gráfico, vemos que f(x) é sempre ...
  • ...negativa quando <x<1.
  • ...positiva quando 1<x<1.
  • ...negativa quando 1<x<3.
  • ...positiva quando 3<x<.
No entanto, não é necessário que uma função polinomial mude de sinal entre as raízes.
Por exemplo, considera a função representada definida por g(x)=x(x+2)2.
A partir do gráfico, vemos que g(x) é sempre...
  • ...negativa quando <x<2.- ...positiva quando 2<x<0.
  • ...negativa quando 0<x<.
  • ...positiva quando <x<.
Repara que g(x) não muda de sinal em torno de x=2.

Determinar o sinal de uma função polinomial

Vamos encontrar os intervalos para o quais o polinómio f(x)=(x+3)(x1)2 é positivo e os intervalos para os quais é negativo.
A função f anula-se em 3 e 1. Estes dois números determinam três intervalos nos quais o signal de f é constante:
Vamos encontrar o sinal de f para <x<3.
Sabemos que f será sempre positiva ou negativa neste intervalo. Podemos saber o sinal de f avaliando a função para um valor neste intervalo. Como 4 está neste intervalo, vamos encontrar f(4).
Como aqui só estamos interessados no sinal do polinómio, não nos interessa conhecer o valor exato de f(4).
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Avalia apenas o sinal da resposta.=()(+)Um sinal negativo ao quadrado é um sinal positivo.=Um sinal negativo a multiplicar por um sinal positivo é um sinal negativo.
Aqui vemos que f(4) é negativo, e portanto f(x) será sempre negativo para <x<3.
Podemos repetir o processo para os intervalos que restam.
A tabela abaixo mostra um resumo dos resultados.
IntervaloValor de f(x) para um x específico dentro do intervaloSinal de f no intervaloConexão com o gráfico de f
<x<3f(4)<0negativoAbaixo do eixo dos xx
3<x<1f(0)>0positivoAcima do eixo dos xx
1<x<f(2)>0positivoAcima do eixo dos xx
Isto é consistente com o gráfico de y=f(x).

Testa o teu conhecimento

1) A função polinomial g(x)=(x+1)2(x+6) tem raízes x=6 e x=1.
Qual é o sinal de g no intervalo 6<x<1?
Seleciona a opção correta.

5) A função polinomial h(x)=(3x)(x+5)(x2) tem raízes x=5, x=2, e x=3.
Qual é o sinal de h(x) no intervalo 5<x<2?
Seleciona a opção correta.

Desafio

3*) Qual dos gráficos seguintes pode ser o gráfico de g(x)=(x2)2(x+1)3?
Seleciona a opção correta.

Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo é fazendo um esboço do seu gráfico, com base nas multiplicidades das raízes e no comportamento do polinómio no limite infinito.
Vê o nosso artigo sobre gráficos de polinómios para mais detalhes.

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