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Álgebra 2
Assunto: Álgebra 2 > Tema 5
Lição 2: Intervalos positivos e negativos- Intervalos positivos e negativos
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
- Multiplicidade dos zeros de polinómios
- Zeros de polinómios (multiplicação)
- Zeros de polinómios (multiplicação)
- Zeros de polinómios e seus gráficos
- Intervalos positivos e negativos dos polinómios
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Intervalos positivos e negativos dos polinómios
Sabe mais sobre a relação entre os zeros de polinómios e os conjuntos de valores para os quais os polinómios são positivos ou negativos.
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
As raízes de um polinómio correspondem às interseções do gráfico de com o eixo dos .
Por exemplo, vamos supor que . Como as raízes da função são e , o gráfico de irá intersetar o eixo dos em e .
Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo sobre zeros de polinómios.
O que vais aprender nesta lição
Precisamos de mais informação de forma a fazermos um bom esboço, embora as interseções com o eixo dos sejam uma característica importante do gráfico de uma função.
Conhecendo o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode ajudar-nos a fazer um esboço do gráfico da sua função.
Neste artigo, vamos aprender como determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo e relacionar com o gráfico.
Intervalos positivos e negativos
O sinal de um polinómio entre quaisquer duas raízes consecutivas é sempre positivo ou sempre negativo.
Por exemplo, considera a função representada definida por .
A partir do gráfico, vemos que é sempre ...
- ...negativa quando
. - ...positiva quando
. - ...negativa quando
. - ...positiva quando
.
No entanto, não é necessário que uma função polinomial mude de sinal entre as raízes.
Por exemplo, considera a função representada definida por .
A partir do gráfico, vemos que é sempre...
- ...negativa quando
.- ...positiva quando . - ...negativa quando
. - ...positiva quando
.
Repara que não muda de sinal em torno de .
Determinar o sinal de uma função polinomial
Vamos encontrar os intervalos para o quais o polinómio é positivo e os intervalos para os quais é negativo.
A função anula-se em e . Estes dois números determinam três intervalos nos quais o signal de é constante:
Vamos encontrar o sinal de para .
Sabemos que será sempre positiva ou negativa neste intervalo. Podemos saber o sinal de avaliando a função para um valor neste intervalo. Como está neste intervalo, vamos encontrar .
Como aqui só estamos interessados no sinal do polinómio, não nos interessa conhecer o valor exato de .
Aqui vemos que é negativo, e portanto será sempre negativo para .
Podemos repetir o processo para os intervalos que restam.
A tabela abaixo mostra um resumo dos resultados.
Intervalo | Valor de | Sinal de | Conexão com o gráfico de |
---|---|---|---|
negativo | Abaixo do eixo dos | ||
positivo | Acima do eixo dos | ||
positivo | Acima do eixo dos |
Isto é consistente com o gráfico de .
Testa o teu conhecimento
Desafio
Determinar os intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico
Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinómio é positivo ou negativo é fazendo um esboço do seu gráfico, com base nas multiplicidades das raízes e no comportamento do polinómio no limite infinito.
Vê o nosso artigo sobre gráficos de polinómios para mais detalhes.
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