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Conteúdo principal

Fatorização de monómios

Aprender a fatorizar expressões monomiais até não ser possível fatorizar mais, ou encontrar o fator desconhecido numa fatorização monomial.

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Um monómio é uma expressão que é um produto de constantes e potências de números inteiros (não negativos) de x, como 3x2. Um polinómio é uma soma de monómios, como 3x2+6x1.
Se A=BC, então B e C são fatores de A, e A é divisível por B e C. Para rever esta matéria, vê o artigo Fatorização e divisibilidade.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender a fatorizar monómios. Vais usar o que já sabes sobre fatorização de inteiros para te ajudar nesta tarefa.

Introdução: O que é a fatorização de monómios?

Fatorizar um monómio significa expressá-lo como um produto de dois ou mais monómios.
Por exemplo, abaixo estão várias possibilidades da fatorização de 8x5.
  • 8x5=(2x2)(4x3)
  • 8x5=(8x)(x4)
  • 8x5=(2x)(2x)(2x)(x2)
Repara que quando se multiplica cada expressão à direita, obtém-se 8x5.

Pergunta para reflexão

Pediram ao António, ao Afonso e ao André para fatorizar o termo 20x6 como um produto de dois monómios. As suas respostas estão abaixo.
AntónioAfonsoAndré
20x6=(2x)(10x5)20x6=(4x3)(5x3)20x6=(20x2)(x3)
1) Qual dos alunos fatorizou 20x6 corretamente?
Seleciona todas as respostas corretas:

Fatorizar monómios completamente (até não ser possível fatorizar mais)

Revisão: fatorização de números inteiros

Para fatorizar um número inteiro completamente, temos de escrevê-lo como um produto de números primos.
Por exemplo, sabemos que 30=235.

E agora com monómios...

Para fatorizar um monómio completamente, escrevemos o coeficiente como um produto de números primos e desenvolvemos a parte com variáveis.
Por exemplo, para fatorizar completamente 10x3, até não ser possível fatorizar mais, podemos fatorizar 10 em números primos como 25 e escrever x3 como xxx. Portanto, esta é a fatorização completa de 10x3:
10x3=25xxx

Testa o teu conhecimento

2) Qual das opções seguintes é a fatorização completa de 6x2?
Seleciona a opção correta.

3) Qual das opções seguintes é a fatorização completa de 14x4?
Seleciona a opção correta.

Descobrir fatores desconhecidos de monómios

Revisão: fatorização de números inteiros

Supõe que sabemos que 56=8b para um número inteiro b. Como podemos saber qual é o outro fator?
Bem, podemos resolver a equação 56=8b em ordem ab dividindo ambos os lados da equação por 8. O fator desconhecido é 7.

E agora com monómios...

Podemos estender estas ideias a monómios. Por exemplo, supõe que 8x5=(4x3)(C) para um monómio C. É possível descobrir C dividindo 8x5 por 4x3:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Dividir ambos os lados por 4x32x2=CSimplificar com as propriedades das potências
Podemos verificar o que fizemos, mostrando que o produto de 4x3 and 2x2 é, de facto, 8x5.
(4x3)(2x2)=42x3x2=8x5

Testa o teu conhecimento

4) Descobre o fator desconhecido B que torna a igualdade seguinte verdadeira.
28x5=(B)(7x)
Seleciona a opção correta.

5) Descobre o fator desconhecido C que torna a igualdade seguinte verdadeira.
40x9=(C)(4x3)
C=

Uma nota sobre factorizações múltiplas

Considera o número 12. É possível escrever quatro fatorizações diferentes deste número.
  • 12=26
  • 12=34
  • 12=121
  • 12=223
No entanto, há apenas uma factorização com números primos do número 12, isto é 223.
Esta mesma ideia prende-se com monómios. Podemos fatorizar 18x3 de muitas formas. Aqui estão algumas fatorizações diferentes.
  • 18x3=29x3
  • 18x3=36xx2
  • 18x3=233x3
No entanto, só existe uma fatorização completa!
18x3=233xxx

Problemas desafio

6*) Escreve a fatorização completa de 22xy2.
22xy2=

7*) O retângulo abaixo tem uma área de 24x3 metros quadrados e um comprimento de 4x2 metros.
Qual é a largura do retângulo?
Largura=
metros

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