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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 3

Lição 1: Fatorização de monómios
Matemática
Álgebra 2
Fatorização de polinómios
Fatorização de monómios
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Fatorização de monómios

Google Classroom
Aprender a fatorizar expressões monomiais até não ser possível fatorizar mais, ou encontrar o fator desconhecido numa fatorização monomial.

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Um monómio é uma expressão que é um produto de constantes e potências de números inteiros (não negativos) de x, como 3, x, squared. Um polinómio é uma soma de monómios, como 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
Se A, equals, B, dot, C, então B e C são fatores de A, e A é divisível por B e C. Para rever esta matéria, vê o artigo Fatorização e divisibilidade.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender a fatorizar monómios. Vais usar o que já sabes sobre fatorização de inteiros para te ajudar nesta tarefa.

Introdução: O que é a fatorização de monómios?

Fatorizar um monómio significa expressá-lo como um produto de dois ou mais monómios.
Por exemplo, abaixo estão várias possibilidades da fatorização de 8, x, start superscript, 5, end superscript.
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
Repara que quando se multiplica cada expressão à direita, obtém-se 8, x, start superscript, 5, end superscript.

Pergunta para reflexão

Pediram ao António, ao Afonso e ao André para fatorizar o termo 20, x, start superscript, 6, end superscript como um produto de dois monómios. As suas respostas estão abaixo.
AntónioAfonsoAndré
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) Qual dos alunos fatorizou 20, x, start superscript, 6, end superscript corretamente?
Seleciona todas as respostas corretas:

Fatorizar monómios completamente (até não ser possível fatorizar mais)

Revisão: fatorização de números inteiros

Para fatorizar um número inteiro completamente, temos de escrevê-lo como um produto de números primos.
Por exemplo, sabemos que 30, equals, 2, dot, 3, dot, 5.

E agora com monómios...

Para fatorizar um monómio completamente, escrevemos o coeficiente como um produto de números primos e desenvolvemos a parte com variáveis.
Por exemplo, para fatorizar completamente 10, x, cubed, até não ser possível fatorizar mais, podemos fatorizar 10 em números primos como 2, dot, 5 e escrever x, cubed como x, dot, x, dot, x. Portanto, esta é a fatorização completa de 10, x, cubed:
10, x, cubed, equals, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, dot, x

Testa o teu conhecimento

2) Qual das opções seguintes é a fatorização completa de 6, x, squared?
Seleciona a opção correta.

3) Qual das opções seguintes é a fatorização completa de 14, x, start superscript, 4, end superscript?
Seleciona a opção correta.

Descobrir fatores desconhecidos de monómios

Revisão: fatorização de números inteiros

Supõe que sabemos que 56, equals, 8, b para um número inteiro b. Como podemos saber qual é o outro fator?
Bem, podemos resolver a equação 56, equals, 8, b em ordem ab dividindo ambos os lados da equação por 8. O fator desconhecido é 7.

E agora com monómios...

Podemos estender estas ideias a monómios. Por exemplo, supõe que 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, C, right parenthesis para um monómio C. É possível descobrir C dividindo 8, x, start superscript, 5, end superscript por 4, x, cubed:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3Dividir ambos os lados por 4x32x2=CSimplificar com as propriedades das poteˆncias\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{Dividir ambos os lados por }4x^3}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{Simplificar com as propriedades das potências}}} \end{aligned}
Podemos verificar o que fizemos, mostrando que o produto de 4, x, cubed and 2, x, squared é, de facto, 8, x, start superscript, 5, end superscript.
(4x3)(2x2)=4⋅2⋅x3⋅x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

4) Descobre o fator desconhecido B que torna a igualdade seguinte verdadeira.
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, B, right parenthesis, left parenthesis, 7, x, right parenthesis
Seleciona a opção correta.

5) Descobre o fator desconhecido C que torna a igualdade seguinte verdadeira.
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, C, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
C, equals

Uma nota sobre factorizações múltiplas

Considera o número 12. É possível escrever quatro fatorizações diferentes deste número.
  • 12, equals, 2, dot, 6
  • 12, equals, 3, dot, 4
  • 12, equals, 12, dot, 1
  • 12, equals, 2, dot, 2, dot, 3
No entanto, há apenas uma factorização com números primos do número 12, isto é 2, dot, 2, dot, 3.
Esta mesma ideia prende-se com monómios. Podemos fatorizar 18, x, cubed de muitas formas. Aqui estão algumas fatorizações diferentes.
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 9, dot, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, dot, 6, dot, x, dot, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, cubed
No entanto, só existe uma fatorização completa!
18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, dot, x, dot, x

Problemas desafio

6*) Escreve a fatorização completa de 22, x, y, squared.
22, x, y, squared, equals

7*) O retângulo abaixo tem uma área de 24, x, cubed metros quadrados e um comprimento de 4, x, squared metros.
Qual é a largura do retângulo?
start text, L, a, r, g, u, r, a, end text, equals
metros

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