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Assunto: Álgebra 2 > Tema 3

Lição 2: Máximo divisor comum

Máximo divisor comum de monómios

Aprender a encontrar o m.d.c (máximo divisor comum) de dois monómios ou mais

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Um monómio é uma expressão que é um produto de constantes e potências de números inteiros (não negativos) de

x

, como

3 x^{2}

. Um polinómio é uma soma de monómios.

É possível escrever a fatorização completa de um monómio escrevendo a fatorização do coeficiente em números primos e desenvolvendo a parte literal. Vê o artigo Fatorização de monómios se isto for novo para ti.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como encontrar o máximo divisor comum de dois monómios (e vários monómios).

Revisão: Máximo divisor comum em números inteiros

O máximo divisor comum (m. d. c.) de dois números é o maior número inteiro que é divisor de ambos os números. Por exemplo, m. d. c. de

12

18

6

É possível encontrar encontrar o m.d.c. para quaisquer dois números, analisando as suas decomposições em fatores primos:

$12 = 2 \times 2 \times 3$ ‍
$18 = 2 \times 3 \times 3$ ‍

Repara que

12

18

têm um divisor

2

e um divisor

3

em comum,por isso, o máximo divisor comum de

12

18

2 \times 3 = 6

Máximo divisor comum em monómios

O processo é semelhante, quando nos é pedido para encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais monómios.

Basta escrever a fatorização completa de cada monómio e ver os fatores comuns. O produto de todos os fatores comuns será o m.d.c..

Por exemplo, vamos encontrar o máximo divisor comum de

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \times 5 \times x \times x \times x$ ‍
$4 x = 2 \times 2 \times x$ ‍

Repara que

10 x^{3}

4 x

têm um fator

2

e um fator

x

em comum. Logo, o máximo divisor comum é

2 \times x

2 x

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o máximo divisor comum de $9 x^{2}$ ‍ e $6 x$ ‍?

2) Qual é o máximo divisor comum de $12 x^{5}$ ‍ e $8 x^{3}$ ‍?

3) Qual é o máximo divisor comum de $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍, e $10 x^{3}$ ‍?

Uma nota sobre a parte literal do m.d.c entre monómios

A parte literal do máximo divisor comum de dois ou mais monómios é igual à parte literal do monômio com o menor expoente.

Por exemplo, considera os monómios

6 x^{5}

4 x^{2}

Uma vez que o menor expoente de $x$ ‍ é $x^{2}$ ‍, esta será a parte literal do máximo divisor comum.
É possível então encontrar o máximo divisor comum de $6$ ‍ e $4$ ‍, que é $2$ ‍, e multiplicar por $x^{2}$ ‍para se obter $2 x^{2}$ ‍, o maior monómio comum dos monómios!

\begin{aligned} O m.d.c. entre 6 e 4 é 2 & O menor expoente entre x^{5} e x^{2} pertence a x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ m.d.c. (6 x^{5}, 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

Esse método é particularmente útil ao procurar o máximo divisor comum de monómios cujas partes literais têm expoentes muito grandes. Por exemplo, levaria muito tempo para usar a decomposição máxima dos monómios

32 x^{100}

16 x^{88}

para encontrar seu máximo divisor comum!

Problemas desafio

4*)Qual é o máximo divisor comum de $20 x^{76}$ ‍ e $8 x^{92}$ ‍?

5*)Qual é o máximo divisor comum de $40 x^{5} y^{2}$ ‍ e $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

Para encontrar o máximo fator comum de

40 x^{5} y^{2}

and

32 x^{2} y^{3}

, vamos fatorizar cada monómio completamente, e ver o que têm em comum.

$40 x^{5} y^{2} = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x \times x \times y \times y$ ‍
$32 x^{2} y^{3} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times y \times y \times y$ ‍

Cada monómio tem três fatores

2

, dois fatores

x

, e dois fatores

y

em comum. Portanto, o maior fator comum do polinómio é

2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times y \times y

8 x^{2} y^{2}

Uma outra alternativa, é reparar que a potência mais baixa de

x

x^{2}

e a potência mais baixa de

y

y^{2}

. Então a parte literal do m.d.c. será

x^{2} y^{2}

. O m.d.c. de

40

32

8

, logo o m.d.c. dos monómios é

8 x^{2} y^{2}

O que se segue?

Para ver como podemos usar estas competências para fatorizar polinómios, vê o nosso próximo artigo sobre colocar o máximo divisor comum em evidência!

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