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Fatorização de polinómios colocando um fator comum em evidência

Aprender a colocar um fator comum em envidência de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatorizar 6x² + 10x como 2x(3x + 5).

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Para encontrar o máximo divisor comum de a, x, start superscript, n, end superscript e b, x, start superscript, m, end superscript, decompõe a e b num produto de fatores primos e escreve x, start superscript, n, end superscript e x, start superscript, m, end superscript como um produto de fatores de expoente 1. Por exemplo, o máximo divisor comum de 6, x e 4, x, squared é 2, x.
Se isto for uma novidade para ti, talvez seja melhor veres o artigo maior fator comum.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como fatorizar polinómios, pondo em evidência um fator comum.

Propriedade distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Para compreender como fatorizar polinómios, é preciso compreender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3, x, squared e 4, x, plus, 3 como se mostra abaixo:
Repara que cada termo do binómio foi multiplicado por um fator comum de start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995.
Como a propriedade distributiva é uma igualdade, o inverso deste processo também é verdadeiro!
Se começarmos com left parenthesis, 3, x, squared, ×, 4, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, 3, x, squared, ×, 3, right parenthesis, podemos usar a propriedade distributiva para pôr em evidência start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995 e obter a expressão fatorizada 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
A expressão resultante está na forma fatorizada porque está escrita como um produto de dois polinómios, enquanto que a expressão original é uma soma de dois termos.

Testa o teu conhecimento

1) Escreve 2, x, ×, 3, x, plus, 2, x, ×, 5 na forma fatorizada.
Seleciona a opção correta.

Colocar em evidência o máximo divisor comum (m. d. c.)

Colocar em evidência o maior monómio comum de um polinómio, é preciso fazer o seguinte:
  1. Descobrir o m.d.c. entre os termos de um polinómio.
  2. Expressar cada termo como um produto de m.d.c.e outro fator.
  3. Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.
Vamos colocar o m.d.c. de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared em evidência.
Passo 1: Descobrir o m.d.c.
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, 3, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Então o m.d.c. de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared é start color #ca337c, 2, end color #ca337c, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, times, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Passo 2: Expressar cada termo como um produto de start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 e outro fator.
  • 2, x, cubed, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, ×, x
  • 6, x, squared, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, ×, 3
Então o polinómio pode ser escrito como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, ×, x, minus, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, ×, 3.
Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 em evidência.
Verificar o resultado
Podemos verificar a fatorização multiplicando 2, x, squared para "dentro" do polinómio (aplicando a propriedade distributiva).
Uma vez que este é o mesmo que o polinómio original, a fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

2) Usa a propriedade distributiva e coloca o m.d.c. de 12, x, squared, plus, 18, x em evidência.
Seleciona a opção correta.

3) Coloca em evidência o m.d.c. do seguinte polinómio.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

4) Coloca em evidência o m.d.c. do seguinte polinómio.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Podemos ser mais eficientes?

Se te sentes confortável com o processo de fatorização através do m.d.c., podes usar um método mais rápido:
Quando soubermos o m.d.c., a forma fatorizada é simplesmente o produto desse m.d.c. e a soma dos termos do polinómio original a dividir pelo m.d.c..
Vê, por exemplo, este método rápido para fatorizar 5, x, squared, plus, 10, x, cujo m.d.c. dos dois termos é start color #01a995, 5, x, end color #01a995:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, right parenthesis, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Colocar fatores binomiais em evidência

O fator comum de um polinómio não tem de ser um monómio.
Por exemplo, considera a expressão algébrica x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Repara que o binómio start color #01a995, 2, x, minus, 1, end color #01a995 é comum a ambas as parcelas. Podemos colocá-lo em evidência, usando a propriedade distributiva:

Testa o teu conhecimento

5) Fatoriza o seguinte polinómio.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Diferentes tipos de fatorizações

Pode parecer que usámos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
  • Fatorizámos monómios escrevendo-os como o produto de outros monómios. Por exemplo, 12, x, squared, equals, 4, x, ×, 3, x.
  • Colocámos em evidência o md.c. dos termos do polinómio usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Colocámos em evidência fatores binomiais comuns que deu origem a uma expressão igual ao produto de dois binómios. Por exemplo x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em cada caso escrevemos o polinómio como um produto de dois ou mais fatores. Por isso, nos três exemplos, fatorizámos realmente o polinómio.

Problemas desafio

6*) Fatoriza o seguinte polinómio.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

7*) Um retângulo grande com uma área de 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metros quadrados é dividido em dois retângulos mais pequenos com áreas de 14, x, start superscript, 4, end superscript e 6, x, squared metros quadrados.
A largura do retângulo (em metros) é igual ao máximo divisor comum entre 14, x, start superscript, 4, end superscript e 6, x, squared.
Qual é o comprimento e a largura do retângulo grande?
start text, L, a, r, g, u, r, a, end text, equals
metros
start text, C, o, m, p, r, i, m, e, n, t, o, end text, equals
metros

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