Simetria de modelos algébricos

Mas primeiro vamos rever alguns conceitos sobre simetria de funções.

Agora, vamos ver um exemplo.

A energia armazenada numa mola, $E(x)$‍, em joules, é uma função do deslocamento da mola, $x$‍, em metros, desde a sua posição inicial, com um valor de $x$‍ positivo a indicar que a mola está esticada, e um valor de $x$‍ negativo a indicar que está comprimida. O gráfico de $y=E(x)$‍ está representado em baixo.

O que podemos concluir através da simetria deste gráfico?

Vamos aplicar os nossos conhecimentos de simetria à função $E$‍.

Se aplicarmos uma reflexão em relação ao eixo dos $yy$‍ ao gráfico da função $E$‍, a imagem coincidirá com o gráfico original.

Assim, a função $E$‍ é par. Algebricamente, isto significa que $E(-x)=E(x)$‍ para qualquer valor $x$‍.

O que quer dizer “$E(-x)=E(x)$‍ para qualquer valor $x$‍”?

É dito que a igualdade é verdadeira para qualquer valor $x$‍, portanto $E(-x)=E(x)$‍ é verdade quando $x=2$‍; $x=4$‍, $x=10$‍, etc. Vamos começar por um valor específico, por exemplo $x=2$‍, para analisar o que significa a igualdade.

Quando $x=2$‍, a igualdade fica $E(-2)=E(2)$‍.

Temos de ter em conta o que é que a variável representa para interpretar a afirmação. Recorda que, neste caso, um valor positivo da variável indica que a mola está esticada, um valor negativo da variável indica que a mola está comprimida e o valor da função indica a energia armazenada na mola relativo ao seu estado de deslocamento.

Assim, $E(-2)=E(2)$‍ significa que uma $\text{mola comprimida }2\text{ metros}$‍ contém a mesma $\text{ energia}$‍ que a $\text{mesma mola esticada }2\text{ metros}$‍.

Já temos o que precisamos para interpretar a expressão geral, $E(-x)=E(x)$‍.

Partindo dos exemplos acima, podemos concluir que $E(-x)=E(x)$‍ significa que uma mola comprimida $x$‍ metros contém a mesma energia que uma mola esticada $x$‍ metros.

Por outras palavras: Uma mola comprimida por uma certa distância contém a mesma energia que uma mola esticada pela mesma distância.

Vamos analisar outro exemplo.

Normalmente, o Paulo costuma usar $20$‍ quilogramas de lenha diariamente no seu fogão a lenha para manter a sua casa a $25$‍ graus Celsius. Para ver como variava a temperatura, ele decidiu variar a quantidade de lenha usada. Um $w$‍ positivo indica que ele usou mais $w$‍ quilogramas de lenha que o normal, enquanto que um $w$‍ negativo indica que ele usou menos $w$‍ quilogramas de lenha que o normal. O gráfico de $y=T(w)$‍ está representado abaixo, sendo que $T(w)$‍ se refere à variação de temperatura em relação ao normal.

O gráfico da função $T$‍ é simétrico em relação à origem.

Portanto a função $T$‍ é uma função ímpar. Algebricamente, isto significa que $T(-w)=-T(w)$‍ para qualquer valor de $w$‍.

Para interpretar a simetria nesta situação, temos de traduzir a afirmação "$T(-w)=-T(w)$‍ para qualquer valor de $w$‍" para os termos do contexto do problema.

Vamos começar por pensar em valores específicos de $w$‍ e depois generalizar.

Recorda que um valor positivo da variável indica um aumento da quantidade de lenha, um valor negativo da variável indica uma redução da quantidade de lenha e a função dá-nos a variação de temperatura relativa a cada variação da quantidade de lenha.

Vemos que $T(-1)=-T(1)$‍ significa que a $\text{alteração de temperatura}$‍ resultante de usar $1\text{ quilograma de lenha a menos}$‍ é contrária à alteração resultante de usar $1\text{ quilograma de lenha a mais}$‍.

Agora, já conseguimos interpretar a afirmação para um valor qualquer de $w$‍.

Por outras palavras: Aumentar e diminuir a quantidade de lenha usada no forno têm efeitos contrários na alteração da temperatura da casa.

Em geral, para interpretar a simetria do gráfico de uma função, podemos usar os seguintes passos:

Passo $1$‍: Determinar a paridade da função e ter em conta a expressão algébrica correspondente.

Passo $2$‍: Perceber o que representam os objetos e as imagens da função no contexto do problema.

Passo $3$‍: Produzir uma afirmação que relacione as grandezas do problema com base em comparações das imagens para objetos simétricos.

A Tatiana está a aprender a conduzir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão rotativo. A velocidade do veículo, $V(x)$‍, em quilómetros por hora, é dada em função da posição $x$‍ do botão. Repara que $x>0$‍ significa que o botão está rodado $x$‍ unidades no sentido dos ponteiros do relógio, enquanto que $x<0$‍ significa que o botão está rodado $x$‍ unidades no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

O gráfico de $y=V(x)$‍ está representado abaixo.