Simetria de modelos algébricos

Mas primeiro vamos rever alguns conceitos sobre simetria de funções.

Agora, vamos ver um exemplo.

A energia armazenada numa mola, $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis, em joules, é uma função do deslocamento da mola, $x$x, em metros, desde a sua posição inicial, com um valor de $x$x positivo a indicar que a mola está esticada, e um valor de $x$x negativo a indicar que está comprimida. O gráfico de $y=E(x)$y, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis está representado em baixo.

O que podemos concluir através da simetria deste gráfico?

Vamos aplicar os nossos conhecimentos de simetria à função $E$E.

Se aplicarmos uma reflexão em relação ao eixo dos $yy$y, y ao gráfico da função $E$E, a imagem coincidirá com o gráfico original.

Assim, a função $E$E é par. Algebricamente, isto significa que $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para qualquer valor $x$x.

O que quer dizer “$E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis para qualquer valor $x$x”?

É dito que a igualdade é verdadeira para qualquer valor $x$x, portanto $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis é verdade quando $x=2$x, equals, 2; $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10, etc. Vamos começar por um valor específico, por exemplo $x=2$x, equals, 2, para analisar o que significa a igualdade.

Quando $x=2$x, equals, 2, a igualdade fica $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis.

Temos de ter em conta o que é que a variável representa para interpretar a afirmação. Recorda que, neste caso, um valor positivo da variável indica que a mola está esticada, um valor negativo da variável indica que a mola está comprimida e o valor da função indica a energia armazenada na mola relativo ao seu estado de deslocamento.

Assim, $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis significa que uma $\greenD{\text{mola comprimida } 2 \text{ metros}}$start color #1fab54, start text, m, o, l, a, space, c, o, m, p, r, i, m, i, d, a, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #1fab54 contém a mesma $\purpleC{\text{ energia}}$start color #aa87ff, start text, space, e, n, e, r, g, i, a, end text, end color #aa87ff que a $\goldD{\text{mesma mola esticada } 2 \text{ metros}}$start color #e07d10, start text, m, e, s, m, a, space, m, o, l, a, space, e, s, t, i, c, a, d, a, space, end text, 2, start text, space, m, e, t, r, o, s, end text, end color #e07d10.

Já temos o que precisamos para interpretar a expressão geral, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis.

Partindo dos exemplos acima, podemos concluir que $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis significa que uma mola comprimida $x$x metros contém a mesma energia que uma mola esticada $x$x metros.

Por outras palavras: Uma mola comprimida por uma certa distância contém a mesma energia que uma mola esticada pela mesma distância.

Vamos analisar outro exemplo.

Normalmente, o Paulo costuma usar $20$20 quilogramas de lenha diariamente no seu fogão a lenha para manter a sua casa a $25$25 graus Celsius. Para ver como variava a temperatura, ele decidiu variar a quantidade de lenha usada. Um $w$w positivo indica que ele usou mais $w$w quilogramas de lenha que o normal, enquanto que um $w$w negativo indica que ele usou menos $w$w quilogramas de lenha que o normal. O gráfico de $y=T(w)$y, equals, T, left parenthesis, w, right parenthesis está representado abaixo, sendo que $T(w)$T, left parenthesis, w, right parenthesis se refere à variação de temperatura em relação ao normal.

O gráfico da função $T$T é simétrico em relação à origem.

Portanto a função $T$T é uma função ímpar. Algebricamente, isto significa que $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis para qualquer valor de $w$w.

Para interpretar a simetria nesta situação, temos de traduzir a afirmação "$T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis para qualquer valor de $w$w" para os termos do contexto do problema.

Vamos começar por pensar em valores específicos de $w$w e depois generalizar.

Recorda que um valor positivo da variável indica um aumento da quantidade de lenha, um valor negativo da variável indica uma redução da quantidade de lenha e a função dá-nos a variação de temperatura relativa a cada variação da quantidade de lenha.

Vemos que $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis significa que a $\blueC{\text{alteração de temperatura}}$start color #63d9ea, start text, a, l, t, e, r, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, e, space, t, e, m, p, e, r, a, t, u, r, a, end text, end color #63d9ea resultante de usar $\maroonC{1 \text{ quilograma de lenha a menos}}$start color #ed5fa6, 1, start text, space, q, u, i, l, o, g, r, a, m, a, space, d, e, space, l, e, n, h, a, space, a, space, m, e, n, o, s, end text, end color #ed5fa6 é contrária à alteração resultante de usar $\purpleD{1 {\text { quilograma de lenha a mais}}}$start color #7854ab, 1, start text, space, q, u, i, l, o, g, r, a, m, a, space, d, e, space, l, e, n, h, a, space, a, space, m, a, i, s, end text, end color #7854ab.

Agora, já conseguimos interpretar a afirmação para um valor qualquer de $w$w.

Por outras palavras: Aumentar e diminuir a quantidade de lenha usada no forno têm efeitos contrários na alteração da temperatura da casa.

Em geral, para interpretar a simetria do gráfico de uma função, podemos usar os seguintes passos:

Passo $1$1: Determinar a paridade da função e ter em conta a expressão algébrica correspondente.

Passo $2$2: Perceber o que representam os objetos e as imagens da função no contexto do problema.

Passo $3$3: Produzir uma afirmação que relacione as grandezas do problema com base em comparações das imagens para objetos simétricos.

A Tatiana está a aprender a conduzir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão rotativo. A velocidade do veículo, $V(x)$V, left parenthesis, x, right parenthesis, em quilómetros por hora, é dada em função da posição $x$x do botão. Repara que $x>0$x, is greater than, 0 significa que o botão está rodado $x$x unidades no sentido dos ponteiros do relógio, enquanto que $x<0$x, is less than, 0 significa que o botão está rodado $x$x unidades no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

O gráfico de $y=V(x)$y, equals, V, left parenthesis, x, right parenthesis está representado abaixo.