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Álgebra 2
Assunto: Álgebra 2 > Tema 12
Lição 2: Interpretação das funçõesSimetria de modelos algébricos
Aprende a interpretar a simetria de um gráfico no contexto de um problema aplicado.
Introdução
Neste artigo, vamos aprender a interpretar a simetria do gráfico de uma função no contexto de problemas da vida real.
Mas primeiro vamos rever alguns conceitos sobre simetria de funções.
Simetria de funções
Agora, vamos ver um exemplo.
Exemplo 1
A energia armazenada numa mola, , em joules, é uma função do deslocamento da mola, , em metros, desde a sua posição inicial, com um valor de positivo a indicar que a mola está esticada, e um valor de negativo a indicar que está comprimida. O gráfico de está representado em baixo.
O que podemos concluir através da simetria deste gráfico?
A simetria da função
Vamos aplicar os nossos conhecimentos de simetria à função .
Se aplicarmos uma reflexão em relação ao eixo dos ao gráfico da função , a imagem coincidirá com o gráfico original.
Assim, a função é par. Algebricamente, isto significa que para qualquer valor .
Interpretação de características simétricas
O que quer dizer “ para qualquer valor ”?
É dito que a igualdade é verdadeira para qualquer valor , portanto é verdade quando ; , , etc. Vamos começar por um valor específico, por exemplo , para analisar o que significa a igualdade.
Quando , a igualdade fica .
Temos de ter em conta o que é que a variável representa para interpretar a afirmação. Recorda que, neste caso, um valor positivo da variável indica que a mola está esticada, um valor negativo da variável indica que a mola está comprimida e o valor da função indica a energia armazenada na mola relativo ao seu estado de deslocamento.
Assim, significa que uma contém a mesma que a .
Já temos o que precisamos para interpretar a expressão geral, .
Partindo dos exemplos acima, podemos concluir que significa que uma mola comprimida metros contém a mesma energia que uma mola esticada metros.
Por outras palavras: Uma mola comprimida por uma certa distância contém a mesma energia que uma mola esticada pela mesma distância.
Questão para pensar
Vamos analisar outro exemplo.
Exemplo 2
Normalmente, o Paulo costuma usar quilogramas de lenha diariamente no seu fogão a lenha para manter a sua casa a graus Celsius. Para ver como variava a temperatura, ele decidiu variar a quantidade de lenha usada. Um positivo indica que ele usou mais quilogramas de lenha que o normal, enquanto que um negativo indica que ele usou menos quilogramas de lenha que o normal. O gráfico de está representado abaixo, sendo que se refere à variação de temperatura em relação ao normal.
A simetria da função
O gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Portanto a função é uma função ímpar. Algebricamente, isto significa que para qualquer valor de .
Interpretação de características simétricas
Para interpretar a simetria nesta situação, temos de traduzir a afirmação " para qualquer valor de " para os termos do contexto do problema.
Vamos começar por pensar em valores específicos de e depois generalizar.
Recorda que um valor positivo da variável indica um aumento da quantidade de lenha, um valor negativo da variável indica uma redução da quantidade de lenha e a função dá-nos a variação de temperatura relativa a cada variação da quantidade de lenha.
Vemos que significa que a resultante de usar é contrária à alteração resultante de usar .
Agora, já conseguimos interpretar a afirmação para um valor qualquer de .
Por outras palavras: Aumentar e diminuir a quantidade de lenha usada no forno têm efeitos contrários na alteração da temperatura da casa.
Questão para pensar
Tirando uma conclusão
Em geral, para interpretar a simetria do gráfico de uma função, podemos usar os seguintes passos:
Passo : Determinar a paridade da função e ter em conta a expressão algébrica correspondente.
Passo : Perceber o que representam os objetos e as imagens da função no contexto do problema.
Passo : Produzir uma afirmação que relacione as grandezas do problema com base em comparações das imagens para objetos simétricos.
Agora é a tua vez
A Tatiana está a aprender a conduzir um novo tipo de veículo. A velocidade do veículo é determinada pela posição de um botão rotativo. A velocidade do veículo, , em quilómetros por hora, é dada em função da posição do botão. Repara que significa que o botão está rodado unidades no sentido dos ponteiros do relógio, enquanto que significa que o botão está rodado unidades no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
O gráfico de está representado abaixo.
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