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Conteúdo principal

Introdução às propriedades dos logaritmos

Propriedades dos logarítmos e exemplos de aplicação das regras.
Regra do produtologb(MN)=logb(M)+logb(N)
Regra do quocientelogb(MN)=logb(M)logb(N)
Regra da potêncialogb(Mp)=plogb(M)
(Estas propriedades são válidas para quaisquer valores de M, N, e b para os quais cada logaritmo esteja definido, o que acontece para M, N>0 e 0<b1.)

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Deves saber o que são logaritmos. Se não sabes, por favor vê a nossa introdução aos logaritmos.

O que vais aprender nesta lição

Os logaritmos, tal como as potências, têm muitas propriedades que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e resolver equações logarítmicas. Este artigo explora três dessas propriedades.
Vamos olhar para cada propriedade individualmente.

Regra do produto: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

Esta propriedade diz que o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Neste caso expandir um logaritmo é escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.
Vamos expandir log6(5y).
Nota que os dois fatores do argumento do logaritmo são 5 e y. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)Regra do produto

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Neste caso, juntar uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-los como um só logaritmo.
Vamos juntar log3(10)+log3(x).
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 3), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:
log3(10)+log3(x)=log3(10x)Regra do produto=log3(10x)

Uma nota importante

Quando juntamos expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser as mesmas.
Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar algo como log2(8)+log3(y).

Testa o teu conhecimento

1) Expande log2(3a).

2) Junta log5(2y)+log5(8).

Regra do quociente: logb(MN)=logb(M)logb(N)

Esta propriedade diz que o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos do dividendo e do divisor.
Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Vamos expandir a expressão log7(a2), escrevendo-a como uma diferença de dois logaritmos aplicando diretamente a regra do quociente.
log7(a2)=log7(a)log7(2)Regra do quociente

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Vamos juntar log4(x3)log4(y).
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 4), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)Regra do quociente

Uma nota importante

Quando juntamos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser as mesmas.
Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar uma expressão do tipo log2(8)log3(y).

Testa o teu conhecimento

3) Expande logb(4c).

4) Junta log(3z)log(8).

Regra da potência: logb(Mp)=plogb(M)

Esta propriedade diz que o logarítmo de uma potência é igual ao expoente vezes o logarítmo da base da potência.
Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Neste caso, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como um múltiplo de outro logaritmo.
Vamos usar a lei da potência para expandir log2(x3).
log2(x3)=3log2(x)Regra da potência=3log2(x)

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Neste caso, reduzir um múltiplo de um logaritmo significa escrevê-lo como um logaritmo ao qual não é aplicada qualquer operação.
Vamos usar a regra da potência para reduzir 4log5(2),
Quando reduzimos uma expressão logarítmica usando a regra da potência, passamos os termos que surgem a multiplicar para potências.
4log5(2)=log5(24)Regra da potência=log5(16)

Testa o teu conhecimento

5) Expande log7(x5).

6) Reduz 6ln(y).

Problemas desafio

Para resolveres os próximos problemas, tens de aplicar várias propriedades em cada caso. Tenta!
7) Qual das seguintes opções é equivalente a logb(2x35)?
Seleciona a opção correta.

8) Qual das seguintes opções é equivalente a 3log2(x)2log2(5)?
Seleciona a opção correta.

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