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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 8

Lição 3: Propriedades dos logaritmos
Matemática
Álgebra 2
Logaritmos
Propriedades dos logaritmos
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Introdução às propriedades dos logaritmos

Google Classroom
Propriedades dos logarítmos e exemplos de aplicação das regras.
Regra do produtolog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Regra do quocientelog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Regra da potêncialog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Estas propriedades são válidas para quaisquer valores de M, N, e b para os quais cada logaritmo esteja definido, o que acontece para M, N, is greater than, 0 e 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Deves saber o que são logaritmos. Se não sabes, por favor vê a nossa introdução aos logaritmos.

O que vais aprender nesta lição

Os logaritmos, tal como as potências, têm muitas propriedades que podem ser usadas para simplificar expressões logarítmicas e resolver equações logarítmicas. Este artigo explora três dessas propriedades.
Vamos olhar para cada propriedade individualmente.

Regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Esta propriedade diz que o logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.
Podemos usar a regra do produto para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Neste caso expandir um logaritmo é escrevê-lo como a soma de dois ou mais logaritmos.
Vamos expandir log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Nota que os dois fatores do argumento do logaritmo são start color #11accd, 5, end color #11accd e start color #1fab54, y, end color #1fab54. Podemos aplicar diretamente a regra do produto para expandir o logaritmo.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Regra do produto\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Regra do produto}}} \end{aligned}

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Neste caso, juntar uma soma de dois ou mais logaritmos significa escrevê-los como um só logaritmo.
Vamos juntar log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 3), podemos aplicar a regra do produto na direção inversa:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Regra do produto=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Regra do produto}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Uma nota importante

Quando juntamos expressões logarítmicas usando a regra do produto, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser as mesmas.
Por exemplo, não podemos usar a regra do produto para simplificar algo como log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

1) Expande log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.

2) Junta log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Esta propriedade diz que o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos do dividendo e do divisor.
Agora vamos usar a regra do quociente para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Vamos expandir a expressão log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, escrevendo-a como uma diferença de dois logaritmos aplicando diretamente a regra do quociente.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Regra do quociente\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Vamos juntar log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Como os dois logaritmos têm a mesma base (base 4), podemos aplicar a regra do quociente na direção inversa:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Regra do quociente\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Regra do quociente}}} \end{aligned}

Uma nota importante

Quando juntamos expressões logarítmicas usando a regra do quociente, as bases de todos os logaritmos na expressão devem ser as mesmas.
Por exemplo, não podemos usar a regra do quociente para simplificar uma expressão do tipo log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

3) Expande log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Junta log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Esta propriedade diz que o logarítmo de uma potência é igual ao expoente vezes o logarítmo da base da potência.
Agora vamos usar a regra da potência para reescrever expressões logarítmicas.

Exemplo 1: Expandir logaritmos

Neste caso, expandir um logaritmo significa escrevê-lo como um múltiplo de outro logaritmo.
Vamos usar a lei da potência para expandir log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Regra da poteˆncia=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Regra da potência}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemplo 2: Juntar logaritmos

Neste caso, reduzir um múltiplo de um logaritmo significa escrevê-lo como um logaritmo ao qual não é aplicada qualquer operação.
Vamos usar a regra da potência para reduzir 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Quando reduzimos uma expressão logarítmica usando a regra da potência, passamos os termos que surgem a multiplicar para potências.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Regra da poteˆncia=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Regra da potência}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

5) Expande log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) Reduz 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Problemas desafio

Para resolveres os próximos problemas, tens de aplicar várias propriedades em cada caso. Tenta!
7) Qual das seguintes opções é equivalente a log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

8) Qual das seguintes opções é equivalente a 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

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