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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 8

Lição 3: Propriedades dos logaritmos
Matemática
Álgebra 2
Logaritmos
Propriedades dos logaritmos
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Justificação das propriedades do logaritmo

Google Classroom
Estuda as demonstrações das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.
Nesta aula, vamos demonstrar três propriedades dos logaritmos: a regra do produto, a regra do quociente, e a regra da potência. Antes de começarmos, vamos recordar um facto que nos vai ser muito útil.
log, start base, b, end base, left parenthesis, b, start superscript, c, end superscript, right parenthesis, equals, c
Dito de outra forma, um logaritmo na base b reverte o efeito de uma potência de base b!
Tem isto em mente à medida que lês as demonstrações que se seguem.

Regra do produto: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Vamos começar por demonstrar um caso específico da regra — o caso em que M, equals, 4, N, equals, 8, e b, equals, 2.
Substituindo estes valores em log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, vemos:
log⁡2(4⋅8)=log⁡2(22⋅23)22=4 e 23=8=log⁡2(22+3)am⋅an=am+n=2+3log⁡b(bc)=c=log⁡2(4)+log⁡2(8)Pois 2=log⁡2(4) e 3=log⁡2(8)\begin{aligned}\log_2({4\cdot 8})&=\log_2(2^2\cdot 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ e } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{Pois $2=\log_2(4)$ e $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
E portanto temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, dot, 8, right parenthesis, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.
Embora isto apenas verifique um caso, podemos seguir a mesma lógica para demonstrar a regra do produto de uma forma geral.
Nota que escrever 4 e 8 como potências de 2 foi a chave para a demonstração. Por isso, em geral, vamos querer que M e N sejam potências da base b. Para fazer isto, vamos considerar que M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript para x e y números reais.
Assim, por definição, também é verdade que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Temos agora que:
log⁡b(MN)=log⁡b(bx⋅by)Substituiça˜o=log⁡b(bx+y)Propriedades dos expoentes=x+ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)+log⁡b(N)Substituiça˜o\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\cdot b^y)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substituição}}} \end{aligned}

Regra do quociente: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

A demonstração desta propriedade segue um método matemático semelhante ao método usado acima.
Novamente, se tomarmos M, equals, b, start superscript, x, end superscript e N, equals, b, start superscript, y, end superscript, segue que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x e log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis, equals, y.
Podemos agora demonstrar a regra do quociente da seguinte maneira:
log⁡b(MN)=log⁡b(bxby)Substituiça˜o=log⁡b(bx−y)Propriedades dos expoentes=x−ylog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)−log⁡b(N)Substituiça˜o\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{Substituição}}} \end{aligned}

Regra da potência: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Desta vez, apenas o M é que está envolvido na propriedade e por isso é suficiente para deixar que M, equals, b, start superscript, x, end superscript, o que nos dá log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, equals, x.
A demonstração da regra da potência está demonstrada abaixo.
log⁡b(Mp)=log⁡b((bx)p)Substituiça˜o=log⁡b(bxp)Propriedades dos expoentes=xplog⁡b(bc)=c=log⁡b(M)⋅pSubstituiça˜o=p⋅log⁡b(M)A multiplicaça˜o eˊ comutativa\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\cdot p&&\small{\gray{\text{Substituição}}}\\ \\ &=p\cdot \log_b(M)&&\small{\gray{\text{A multiplicação é comutativa}}} \end{aligned}
Alternativamente, podemos justificar esta propriedade usando a regra do produto.
Por exemplo, sabemos que log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, dot, M, dot, point, point, point, dot, M, right parenthesis, onde M é multiplicado por si próprio p vezes.
Podemos agora usar a regra do produto juntamente com a definição de que a multiplicação possa ser vista como adições repetidas para completar a demonstração. Isto é demonstrado abaixo.
log⁡b(Mp)=log⁡b(M⋅M⋅...⋅M)Definiça˜o dos expoentes=log⁡b(M)+log⁡b(M)+...+log⁡b(M)Regra do produto=p⋅log⁡b(M)Definiça˜o de produto\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\cdot M\cdot ...\cdot M)&&\small{\gray{\text{Definição dos expoentes}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{Regra do produto}}}\\\\ &= p\cdot \log_b(M) &&\small{\gray{\text{Definição de produto}}}\end{aligned}
E finalmente acabámos de demonstrar as três propriedades dos logaritmos!

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