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Assunto: Álgebra 2 > Tema 8
Lição 3: Propriedades dos logaritmos- Introdução às propriedades dos logaritmos (1 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos (2 de 2)
- Introdução às propriedades dos logaritmos
- Utilização da regra logarítmo do produto
- Utilização da regra logarítmo de uma potência
- Utiliza as propriedades dos logaritmos
- Utilização das propriedades dos logaritmos: vários passos
- Demonstração da regra logarítmo do produto
- Demonstração das regras logarítmo do quociente e logarítmo de uma potência
- Justificação das propriedades do logaritmo
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Justificação das propriedades do logaritmo
Estuda as demonstrações das propriedades logarítmicas: a regra do produto, a regra do quociente e a regra da potência.
Nesta aula, vamos demonstrar três propriedades dos logaritmos: a regra do produto, a regra do quociente, e a regra da potência. Antes de começarmos, vamos recordar um facto que nos vai ser muito útil.
Dito de outra forma, um logaritmo na base reverte o efeito de uma potência de base !
Tem isto em mente à medida que lês as demonstrações que se seguem.
Regra do produto:
Vamos começar por demonstrar um caso específico da regra — o caso em que , , e .
Substituindo estes valores em , vemos:
E portanto temos que .
Embora isto apenas verifique um caso, podemos seguir a mesma lógica para demonstrar a regra do produto de uma forma geral.
Nota que escrever e como potências de foi a chave para a demonstração. Por isso, em geral, vamos querer que e sejam potências da base . Para fazer isto, vamos considerar que e para e números reais.
Assim, por definição, também é verdade que e .
Temos agora que:
Regra do quociente:
A demonstração desta propriedade segue um método matemático semelhante ao método usado acima.
Novamente, se tomarmos e , segue que e .
Podemos agora demonstrar a regra do quociente da seguinte maneira:
Regra da potência:
Desta vez, apenas o é que está envolvido na propriedade e por isso é suficiente para deixar que , o que nos dá .
A demonstração da regra da potência está demonstrada abaixo.
Alternativamente, podemos justificar esta propriedade usando a regra do produto.
Por exemplo, sabemos que , onde é multiplicado por si próprio vezes.
Podemos agora usar a regra do produto juntamente com a definição de que a multiplicação possa ser vista como adições repetidas para completar a demonstração. Isto é demonstrado abaixo.
E finalmente acabámos de demonstrar as três propriedades dos logaritmos!
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