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Álgebra 2
Assunto: Álgebra 2 > Tema 8
Lição 1: Introdução aos logaritmos- Introdução aos logaritmos
- Introdução aos Logaritmos
- Calcular logarítmos
- Cálculo de logaritmos
- Calcula os logaritmos (avançado)
- Relação entre exponencial e logarítmo
- Relação entre exponenciais e logaritmos: gráficos
- Relação entre exponenciais e logaritmos: tabelas
- Relação entre exponencial e logarítmo
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Introdução aos Logaritmos
Aprende o que são e como se calculam logarítmos.
Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição
Deves estar familiarizado com expoentes, incluindo expoentes negativos.
O que vais aprender nesta lição
Vais aprender o que são logaritmos, e vais aprender a calcular alguns logaritmos básicos. Isto vai preparar-te para trabalhares com expressões e funções logarítmicas no futuro.
O que é um logaritmo?
Os logaritmos representam uma forma alternativa de pensar em expoentes.
Por exemplo, sabemos que start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript é igual a start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Isto é expresso pela expressão exponencial start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Agora supõe que alguém nos perguntava , "a que potência elevar start color #11accd, 2, end color #11accd para obter start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" A resposta seria start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Isto é expresso pela expressão logarítmica log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, que se lê "logaritmo de base 2 de dezasseis igual quatro".
Ambas as igualdades descrevem a mesma relação entre os números start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, e start color #e07d10, 16, end color #e07d10, em que start color #11accd, 2, end color #11accd é a base e start color #0d923f, 4, end color #0d923f é o expoente.
A diferença é que enquanto que na forma exponencial obtemos a potência, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, a partir da base e do expoente, na forma logarítmica obtemos o expoente, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, a partir da base e da potência.
Aqui estão mais exemplos de equivalências entre expressões logarítmicas e exponenciais.
| Forma logarítmica | Forma exponencial | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Definição de logaritmo
Generalizando os exemplos acima leva-nos à definição formal de logaritmo.
Ambas as igualdades descrevem a mesma relação entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd, e start color #0d923f, c, end color #0d923f:
- start color #11accd, b, end color #11accd é a start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f é o start color #0d923f, start text, e, x, p, o, e, n, t, e, end text, end color #0d923f
- start color #e07d10, a, end color #e07d10 é o start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #e07d10.
Uma nota útil
Ao reescrever uma equação exponencial na forma logarítmica ou uma equação logarítmica na forma exponencial, é útil lembrar que a base do logaritmo é a mesma que a base do exponente.
Testa o teu conhecimento
Nos problemas seguintes, vais fazer as conversões entre as formas exponencial e logarítmica das igualdades.
Calcular um logaritmo
Boa! Agora que compreendemos a relação entre expoentes e logaritmos, vamos ver se somos capazes calcular logaritmos.
Por exemplo, vamos calcular log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Vamos começar por igualar a expressão do logaritmo a x.
Escrever isto na forma de uma equação exponencial dá-nos a equação seguinte:
A que potência é que temos de elevar 4 para obter 64? Bom, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 e por isso log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
À medida que fores praticando, vais começar a conseguir calcular expressões como log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis simplesmente perguntando "qual é a potência a que temos de elevar 4 para obter 64?"
Testa o teu conhecimento
Lembra-te de que, para calculares log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, podes perguntar: "qual é a potência a que podemos elevar start color #11accd, b, end color #11accd para obter start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Restrições nas variáveis
O log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis é definido quando a base b é positiva e diferente de 1 e o argumento a é positivo. Estas restrições resultam da conexão entre logaritmos e expoentes.
| Restrição | Raciocínio |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | Numa função exponencial, a base b é sempre definida como sendo positiva. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como um número positivo elevado a uma potência qualquer é positivo, o que significa que b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, segue que a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | Supõe, por um momento, que b poderia ser 1. Agora considera a equação log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. A forma exponencial equivalente seria 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Mas isto nunca pode ser verdade pois 1 elevado a qualquer potência é sempre 1. Por isso, segue que b, does not equal, 1. |
Logaritmos especiais
Embora a base de um logaritmo possa ter muitos valores diferentes, há duas bases que são utilizadas com mais frequência do que outras.
Aliás, a maior parte das calculadoras tem botões apenas para estes dois tipos de logaritmos. Vamos ver quais são.
Logaritmo decimal
O logaritmo decimal é um logaritmo cuja base é 10 ("logaritmo de base 10").
Por vezes, quando a base do logaritmo é 10, o número é omitido na expressão.
Logaritmo neperiano
O logaritmo neperiano é um logaritmo cuja base é o número de Neper e ("logaritmo de base e").
Em vez de escrevermos a base como e, podemos indicar este logaritmo com natural log.
Esta tabela tem um resumo daquilo que precisamos de saber acerca destes dois logaritmos especiais:
| Nome | Base | Notação geral | Notação especial |
|---|---|---|---|
| Logaritmo decimal | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| Logaritmo neperiano | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Embora a notação seja diferente, a ideia por detrás do cálculo do logaritmo é exatamente a mesma!
Porque é que estamos a estudar logaritmos?
Como acabaste de aprender, os logaritmos revertem expoentes. Por esta razão, são muito úteis para resolver equações exponenciais.
Por exemplo, a solução para 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 pode ser dado em termos do logaritmo, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. Vais aprender como calcular esta expressão logarítmica no decorrer das próximas aulas.
As expressões e funções logarítmicas também se revelam muito interessantes por si só, e são muito comuns no mundo que nos rodeia. Por exemplo, muitos fenómenos físicos são medidos com escalas logarítmicas.
O que se segue?
Aprender sobre as propriedades dos logaritmos que nos ajudam a reescrever expressões logarítmicas e sobre a regra de mudança de base, que nos permite calcular qualquer logaritmo usando a calculadora.
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