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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 8

Lição 5: Equações exponenciais com logaritmos
Matemática
Álgebra 2
Logaritmos
Equações exponenciais com logaritmos
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Resolução de equações exponenciais usando logaritmos

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Aprende a resolver qualquer equação exponencial da forma a⋅b^(cx)=d. Por exemplo, resolve 6⋅10^(2x)=48.
A chave para resolver equações exponenciais está nos logaritmos! Vamos ver com mais atenção através de alguns exemplos.

Resolver equações exponenciais da forma a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Vamos resolver 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
Para resolver em ordem a x, primeiro temos de isolar a parte exponencial. Para fazer isto, divide ambos os membros por 5 tal como se pode ver abaixo. Não multiplicamos o 5 e o 2 dado ir contra a ordem das operações!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Agora podemos resolver em ordem a x convertendo a equação para a forma logarítmica.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 é equivalente a log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
E assim resolvemos a equação! A solução exata é x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Como 48 não é nenhuma potência racional de 2, devemos usar a regra de mudança de base e as nossas calculadoras para calcular o logaritmo. Isto é mostrado abaixo.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)Regra de mudança de base≈5,585Obteˊm o valor usando uma calculadora\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{Regra de mudança de base}}}\\\\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{Obtém o valor usando uma calculadora}}}\end{aligned}
A solução aproximada, arredondada às milésimas é x, approximately equals, 5, comma, 585.

Testa o teu conhecimento

1) Qual é a solução de 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Seleciona a opção correta.

2) Resolve 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Arredonda a tua resposta às milésimas.
t, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Resolve 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Arredonda a tua resposta às milésimas.
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Resolver equações exponenciais da forma a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Vamos ver outro exemplo. Vamos resolver 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48
Começamos novamente por isolar a parte exponencial dividindo ambos os membros por 6.
6⋅102x=48102x=8\begin{aligned} 6\cdot 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
De seguida, podemos trazer o expoente para baixo convertendo a expressão para a forma logarítmica.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
Finalmente, podemos dividir ambos os membros por 2 e resolver em ordem a x.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Esta é a resposta exata. Para aproximar a resposta à milésima mais próxima, podemos escrever isto diretamente na calculadora. Tem em atenção que aqui não existe necessidade de mudar a base pois já está na base 10.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452Obteˊm o valor usando uma calculadora\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0{,}452 &&{\gray{\text{Obtém o valor usando uma calculadora}}}\end{aligned}

Testa o teu conhecimento

4) Qual das opções seguintes é a solução de 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Seleciona a opção correta.

5) Resolve 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Arredonda a tua resposta às milésimas.
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Resolve minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, comma, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Arredonda a tua resposta às milésimas.
z, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema desafio

7) Qual das seguintes opções são soluções para left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Seleciona todas as respostas corretas:

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