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Álgebra 2
Assunto: Álgebra 2 > Tema 8
Lição 4: Mudança de base de um logaritmo- Cálculo de logaritmos: regra da mudança de base
- Introdução à regra da mudança de base do logaritmo
- Cálculo de logaritmos: regra da mudança de base
- Usar a regra de mudança de base dos logaritmos
- Usar a regra de mudança de base dos logaritmos
- Demonstração da regra de mudança de base dos logaritmos
- Revisão das propriedades dos logaritmos
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Introdução à regra da mudança de base do logaritmo
Aprende a reescrever qualquer logaritmo usando logaritmos com uma base diferente. Isto é útil para determinar logaritmos na calculadora!
Supõe que queríamos calcular o valor da expressão log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Uma vez que 50 não é uma potência de 2, é difícil conhecer o valor sem uma calculadora.
No entanto, a maior parte das calculadoras calculam logaritmos na base 10 e na base e. Por isso, de forma a encontrar o valor de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, primeiro temos de mudar a base do logaritmo.
Regra da mudança de base
Podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando a seguinte regra:
Notas:
- Ao usares esta propriedade, podes escolher mudar o logaritmo para qualquer base start color #0d923f, x, end color #0d923f.
- Como sempre, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e as bases devem ser positivas e diferentes de 1 para que esta propriedade se verifique!
Exemplo: Calcular log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis
Se o teu objetivo é encontrar o valor de um logaritmo, muda a base para 10 ou e, dado que estes logaritmos podem ser calculados na maioria das calculadoras.
Por isso, vamos mudar a base de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis para start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Para fazer isto, aplicamos a regra da mudança de base com b, equals, 2, a, equals, 50, e x, equals, 10.
Agora podemos encontrar o valor usando a calculadora.
Testa o teu conhecimento
Justificar a regra de mudança de base
Neste ponto, deves estar a pensar: "Boa, mas porque é que esta regra funciona?"
Para calcular isto, vamos voltar à expressão original log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Se tomarmos log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, então segue que 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Como os dois valores são iguais, podemos tomar o logaritmo em qualquer base para ambos os membros da equação criada. Temos agora que:
Como n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction tal como desejado!
Pela mesma lógica, podemos provar a regra da mudança de base. Basta mudares 2 para b e 50 para a e tens a demonstração!
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