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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 8

Lição 4: Mudança de base de um logaritmo
Matemática
Álgebra 2
Logaritmos
Mudança de base de um logaritmo
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Introdução à regra da mudança de base do logaritmo

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Aprende a reescrever qualquer logaritmo usando logaritmos com uma base diferente. Isto é útil para determinar logaritmos na calculadora!
Supõe que queríamos calcular o valor da expressão log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Uma vez que 50 não é uma potência de 2, é difícil conhecer o valor sem uma calculadora.
No entanto, a maior parte das calculadoras calculam logaritmos na base 10 e na base e. Por isso, de forma a encontrar o valor de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, primeiro temos de mudar a base do logaritmo.

Regra da mudança de base

Podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando a seguinte regra:
Notas:
  • Ao usares esta propriedade, podes escolher mudar o logaritmo para qualquer base start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Como sempre, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e as bases devem ser positivas e diferentes de 1 para que esta propriedade se verifique!

Exemplo: Calcular log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Se o teu objetivo é encontrar o valor de um logaritmo, muda a base para 10 ou e, dado que estes logaritmos podem ser calculados na maioria das calculadoras.
Por isso, vamos mudar a base de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis para start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Para fazer isto, aplicamos a regra da mudança de base com b, equals, 2, a, equals, 50, e x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Regra da mudança de base=log⁡(50)log⁡(2)Poislog⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{Regra da mudança de base}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Pois} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Agora podemos encontrar o valor usando a calculadora.
log⁡2(50)≈5,644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5{,}644 \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) Calcula log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Calcula log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Calcula log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Justificar a regra de mudança de base

Neste ponto, deves estar a pensar: "Boa, mas porque é que esta regra funciona?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, left arrow, start color #e07d10, start text, R, e, g, r, a, space, d, e, space, m, u, d, a, n, ç, a, space, d, e, space, b, a, s, e, end text, end color #e07d10
Para calcular isto, vamos voltar à expressão original log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Se tomarmos log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, então segue que 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Como os dois valores são iguais, podemos tomar o logaritmo em qualquer base para ambos os membros da equação criada. Temos agora que:
2n=50log⁡x(2n)=log⁡x(50)Se Y=Z, enta˜o log⁡x(Y)=log⁡x(Z)nlog⁡x(2)=log⁡x(50)Regra da poteˆncian=log⁡x(50)log⁡x(2)Dividir ambos os membros por log⁡x(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log_x(2^n) &= \log_x(50)&&\small{\gray{\text{Se $Y=Z$, então $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ n\log_x(2)&=\log_x(50)&&\small{\gray{\text{Regra da potência}}}\\\\ n &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&\small{\gray{\text{Dividir ambos os membros por $\log_x(2)$}}}\end{aligned}
Como n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, temos que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction tal como desejado!
Pela mesma lógica, podemos provar a regra da mudança de base. Basta mudares 2 para b e 50 para a e tens a demonstração!

Problemas desafio

1) Calcula start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction sem usar calculadora.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Qual é a expressão equivalente a log, left parenthesis, 6, right parenthesis, times, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

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