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Álgebra 2
Assunto: Álgebra 2 > Tema 2
Lição 1: A unidade imaginária i- Introdução aos números imaginários
- Introdução aos números imaginários
- Simplificar as raízes de números negativos
- Simplificar as raízes de números negativos
- As potências da unidade imaginária
- As potências da unidade imaginária
- As potências da unidade imaginária
- i como a raiz de -1
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As potências da unidade imaginária
Aprende a simplificar qualquer potência da unidade imaginária i. Por exemplo, simplifica i²⁷ como -i.
Sabemos que e que .
Mas o que é que acontece com ? E ? E outras potências de ? Como é que as podemos avaliar?
Calcular e
As propriedades dos expoentes podem ajudar-nos aqui! De facto, quando queremos calcular as potências de , podemos aplicar as propriedades dos expoentes que conhecemos do sistema de números reais, desde que os expoentes sejam números inteiros.
Com isto em mente, vamos encontrar e .
Sabemos que . Mas como , vemos que:
Da mesma forma, . Novamente, usando o facto de , temos que:
Mais potências de
Vamos continuar! Vamos encontrar as potências seguintes de usando um método semelhante.
Os resultados estão resumidos na tabela.
Padrão emergente
Da tabela, as potências de formam um ciclo segundo a sequência , , e .
Usando este padrão, podemos encontrar ? Vamos experimentar!
A lista seguinte mostra os primeiros números na sequência que se repete.
De acordo com esta lógica, deve ser igual a . Vamos ver se podemos justificar isto usando os expoentes. Lembra-te, nós podemos usar as propriedades dos expoentes tal como usamos com os números reais!
De qualquer das formas, vemos que .
Potências maiores de
Supõe agora que queríamos encontrar . Podíamos listar a sequência , , , ,... até chegarmos ao termo, mas isto ia demorar muito tempo!
Nota, no entanto, que , , , etc., or, por outras palavras, que elevado a um múltiplo de é .
Podemos usar este facto juntamente com as propriedades dos expoentes para nos ajudar a simplificar .
Exemplo
Simplifica .
Solução
O número não é um múltiplo de , mas o número é! Vamos usar isto para nos ajudar a simplificar .
Assim, .
Podes perguntar porque é que escolhemos escrever como .
Bom, se o expoente original não é um múltiplo de , então encontrar o múltiplo mais próximo de que seja menor do que o expoente permite-nos simplificar a potência de , , ou apenas usando o facto de que .
Este número é fácil de encontrar se dividires o expoente original por . É apenas do quociente (sem resto) vezes .
Vamos resolver alguns exercícios
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Problema desafio
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