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Revisão do método da substituição (sistemas de equações)

O método da substituição é uma técnica para resolver sistemas de equações. Este artigo analisa a técnica com vários exemplos e alguns problemas práticos para experimentares por ti próprio.

O que é o método da substituição?

O método da substutuição é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
{3x+y=3x=y+3\begin{cases} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{cases}
A segunda equação está resolvida em ordem a x, logo podemos substituir x pela expressão minus, y, plus, 3 na primeira equação:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ ⇔3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ ⇔-3y+9+y&=-3\\\\ ⇔-2y&=-12\\\\ ⇔y&=6 \end{aligned}
Ao substituirmos este valor y na primeira equação, x, equals, minus, y, plus, 3, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ ⇔x&=-(\blueD{6})+3\\\\ ⇔x&=-3 \end{aligned}
A solução do sistema de equações é x, equals, minus, 3, y, equals, 6.
Podemos verificar a nossa solução colocando estes valores nas equações originais. Vamos tentar em 3, x, plus, y, equals, minus, 3:
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Sim, verifica-se que a solução está correta.

Exemplo 2

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
{7x+10y=362x+y=9\begin{cases} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{cases}
Para se utilizar o método da substituição, é preciso resolver em ordem a x ou y numa das equações. Vamos resolver em ordem a y na segunda equação:
{2x+y=9y=2x+9\begin{cases} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{cases}
Podemos agora substituir y pela expressão 2, x, plus, 9 na primeira equação do nosso sistema:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ ⇔7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ ⇔7x+20x+90&=36\\\\ ⇔27x+90&=36\\\\ ⇔3x+10&=4\\\\ ⇔3x&=-6\\\\ ⇔x&=-2 \end{aligned}
Ao substituirmos este valor x na outra equação, y, equals, 2, x, plus, 9, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ ⇔y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ ⇔y&=-4+9 \\\\ ⇔y&=5 \end{aligned}
A solução do sistema de equações é x, equals, minus, 2, y, equals, 5.
Queres aprender mais sobre o método da substituição? Vê este vídeo.

Praticar

Problema 1
  • Atual
Resolve o seguinte sistema de equações.
{5x+4y=3x=2y15\begin{cases} -5x+4y &= 3\\\\ x&=2y-15 \end{cases}
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Queres praticar mais? Vê este exercício.

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