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Revisão do método de eliminação (sistemas de equações lineares)

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Este artigo revê a técnica com exemplos e dá-te a oportunidade de experimentar o método por ti mesmo.

O que é o método de eliminação?

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Repara que a primeira equação tem um termo de 7, x e a segunda equação tem um termo de minus, 7, x. Estes termos vão anular-se se somarmos as equações juntas — ou seja, vamos eliminar os termos com x:
2y+7x=5+ 5y7x=127y+0=7\begin{aligned} 2y+\redD{7x} &= -5 \\ +~5y\redD{-7x}&=12\\ \hline\\ 7y+0 &=7 \end{aligned}
Resolvendo em ordem a y, temos:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
A solução deste sistema é left parenthesis, start color #11accd, minus, 1, end color #11accd, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, right parenthesis.
Podemos verificar a nossa solução colocando estes valores nas equações originais. Vamos tentar a segunda equação:
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Sim, verifica-se que a solução está correta.
Se tens dúvidas acerca deste processo funcionar, vê este vídeo introdutório para uma explicação passo a passo mais profundida.

Exemplo 2

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Podemos multiplicar a primeira equação por minus, 4 para obter uma equação equivalente que tem um termo start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab. O nosso novo (mas equivalente!) sistema de equações tem este aspecto:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Ao adicionar as equações para eliminar os termos em x, obtemos:
36y16x+80=0+ 7y+16x80=029y+00=0\begin{aligned} 36y-\redD{16x} +80&=0 \\ {+}~-7y+\redD{16x}-80&=0\\ \hline\\ 29y+0 -0&=0 \end{aligned}
Resolvendo em ordem a y, temos:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
A solução para o sistema é x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd, y, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10.
Queres ver outro exemplo de resolver um problema complicado com o método de eliminação? Vê este video.

Pratica

Problema 1
  • Atual
Resolve o seguinte sistema de equações.
3x+8y=152x8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Queres praticar mais? Vê estes exercícios:

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