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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 9
Lição 1: Introdução às progressões aritméticas- Introdução às progressões
- Sucessões aritméticas - introdução
- Sucessões aritméticas - introdução
- Como encontrar os termos de uma sucessão
- Determinar o próximo termo
- Progressões aritméticas: determinação de um termo a partir da expressão algébrica
- Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas
- Exemplo resolvido: usar a definição por recorrência para progressões aritméticas
- Usar fórmulas de progressões aritméticas.
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Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas
Ficar à vontade com as expressões algébricas das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral e a definição por recorrência.
Antes de iniciar esta lição, certifica-te que sabes os fundamentos das progressões aritméticas, e tens alguma experiência com cálculo de funções e domínio de uma função.
O que é uma fórmula?
Estamos habituados a descrever progressões aritméticas assim:
Mas há outras formas. Nesta lição, vamos aprender duas formas novas de representar progressões aritméticas: definição por recorrência e fórmula do termo geral. As fórmulas dão-nos instruções sobre como encontrar qualquer termo da progressão.
Para permanecerem gerais, as fórmulas usam n para representar a ordem de qualquer termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o termo de ordem n da progressão. Por exemplo, temos os primeiros termos da progressão aritmética 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
n | a, left parenthesis, n, right parenthesis |
---|---|
(Ordem) | (Termo) |
1 | 3 |
2 | 5 |
3 | 7 |
Mencionámos em cima que as fórmulas nos dão instruções sobre como encontrar qualquer termo da progressão. Matematicamente falando: as fórmulas dizem-nos como encontrar a, left parenthesis, n, right parenthesis para qualquer n possível.
Testa o teu conhecimento
Definição por recorrência de progressões aritméticas
A definição por recorrência dá-nos duas partes de informação:
- O primeiro termo da progressão
- A regra do padrão matemático para se chegar a qualquer termo a partir do termo anterior.
A seguir, temos a definição por recorrência da nossa progressão 3, 5, 7,..., juntamente com a interpretação para cada parte.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de desenvolver a progressão:
a, left parenthesis, n, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2 | |||
---|---|---|---|---|
a, left parenthesis, 1, right parenthesis | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd | |||
a, left parenthesis, 2, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff | |
a, left parenthesis, 3, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54 | |
a, left parenthesis, 4, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10 | |
a, left parenthesis, 5, right parenthesis | equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2 | equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2 | equals, 11 |
Boa! Esta definição dá-nos a mesma progressão descrita por 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Testa o teu conhecimento
Agora é a tua vez de encontrar termos de progressões aritméticas usando as suas definições por recorrência.
Tal como usámos a, left parenthesis, n, right parenthesis para representar o n, start superscript, start text, end text, end superscript, minus, e, with, acute, on top, s, i, m, o termo da sequência 3, 5, 7, ..., podemos usar outras letras para representar outras sequências. Por exemplo, podemos usar b, left parenthesis, n, right parenthesis, c, left parenthesis, n, right parenthesis, ou d, left parenthesis, n, right parenthesis.
Termo geral de progressões aritméticas
Aqui está a fórmula do termo geral da progressão 3, 5, 7,...
Esta fórmula permite-nos simplesmente inserir o número da ordem do termo no qual estamos interessados e obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de inserir n, equals, 5 na fórmula do termo geral.
E eis que, obtivemos o mesmo resultado que anteriormente!
Testa o teu conhecimento
Progressões são funções
Repara que as fórmulas que usamos nesta lição funcionam como funções: inserimos um número n, a ordem do termo, e como resultado, através da fórmula obtemos o valor desse termo a, left parenthesis, n, right parenthesis.
As progressões são, na verdade, definidas como funções. No entanto, n não pode tomar qualquer valor de número real . Não existe o termo minus, 5, start superscript, start text, o, end text, end superscript ou 0, comma, 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo de uma progressão.
Isto significa que o domínio de uma progressão (ou seja, o conjunto de todos os objetos possíveis da função) é o conjunto de números inteiros positivos.
Um apontamento sobre notação
Escrevemos a, left parenthesis, 4, right parenthesis para representar o 4, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo, por exemplo, mas também podemos escrever a, start subscript, 4, end subscript.
Ambas as notações estão corretas. Nós preferimos a, left parenthesis, 4, right parenthesis porque enfatiza que as progressões são funções.
Pergunta para reflexão
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