Conteúdo principal

Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 1: Introdução às progressões aritméticas

Sucessões aritméticas - introdução

Google Classroom

Ficar à vontade com sucessões em geral.

Antes de iniciar esta lição, certifica-te que sabes como adicionar e subtrair números negativos.

O que é uma sucessão?

Aqui estão algumas listas de números:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

Listas ordenadas de números como estas são chamadas sucessões. Chama-se a cada número de uma sucessão termo.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$1^{o} termo$ ‍	$2^{o} termo$ ‍	$3^{o} termo$ ‍

As sucessões têm padrões (seguem uma determinada regra matemática) que nos permitem prever qual pode ser o termo seguinte.

Por exemplo, na sucessão 3, 5, 7..., adiciona-se sempre dois para o termo seguinte:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

As reticências do final indicam que a sucessão continua e pode ser desenvolvida, mesmo que só vejamos alguns termos.

Podemos fazer isto usando o padrão.

Por exemplo, o quarto termo da sucessão deve ser nove, o quinto termo deve ser 11, etc.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

Testa o teu conhecimento

Desenvolver as sucessões de acordo com o seu padrão.

Problema 1

Padrão: Somar cinco ao termo anterior.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Problema 2

Padrão: Subtrair três ao termo anterior.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Problema 3

Padrão: Multiplicar o termo anterior por dois.

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

Problema 4

Faz corresponder cada sucessão com o seu padrão.

1

Aqui estão as sucessões e os seus respetivos padrões:

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

O que é uma sucessão aritmética?

Para muitos dos exemplos acima, o padrão envolve a adição ou subtração de um número a cada termo para obter o termo seguinte. As sucessões com tal padrão são chamadas Sucessões aritméticas.

Numa sucessão aritmética a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma, é constante.

Por exemplo, a sucessão 3, 5, 7, 9,... é aritmética porque a diferença entre termos consecutivos é sempre dois.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

A sucessão 21, 16, 11, 6,... é uma sucessão aritmética porque a diferença entre termos consecutivos é sempre cinco.

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

A sucessão 1, 2, 4, 8,... não é uma sucessão aritmética, porque a diferença entre termos consecutivos não é a mesma.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Testa o teu conhecimento

Problema 5

Seleciona todas as sucessões aritméticas.

Aqui estão as sucessões com as suas diferenças consecutivas:

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

A diferença entre os termos consecutivos da progressão acima é sempre quatro, logo, esta é uma sucessão aritmética.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 1 ↷$ ‍		$+ 1 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

A diferença entre os termos consecutivos da sucessão acima varia, logo, esta não é uma sucessão aritmética.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

A diferença entre os termos consecutivos da sucessão acima varia, logo, esta não é uma sucessão aritmética.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

A diferença entre os termos consecutivos da sucessão acima é sempre menos nove, logo, esta é uma sucessão aritmética.

Problema 6

O primeiro termo de uma sucessão é um. Quais dos seguintes padrões faria a sucessão ser aritmética?

"Somar quatro ao termo anterior" significa que a diferença entre termos consecutivos é sempre quatro. Então, este padrão descreve uma sucessão aritmética.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

Da mesma forma, o padrão "subtrair quatro ao termo anterior" descreve uma sucessão aritmética na qual a diferença entre os termos consecutivos é sempre menos quatro.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Ao contrário, o padrão "multiplicar o termo anterior por quatro" não origina uma sucessão cuja diferença entre termos consecutivos é constante.

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 12 ↷$ ‍		$+ 48 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

Da mesma forma, o padrão "dividir o termo anterior por quatro" não origina uma sucessão aritmética.

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{16} ↷$ ‍		$- \frac{3}{64} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

A razão de uma progressão aritmética

A razão de uma sucessão aritmética é a diferença constante entre termos consecutivos.

Por exemplo, a razão de 10, 21, 32, 43,... é 11:

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

A razão de –2, –5, –8, –11... é três negativo:

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Testa o teu conhecimento

Problema 7

Qual é a razão da sucessão 2, 8, 14, 20 ...?

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

Problema 8

Qual é a razão da sucessão $5, 2, - 1, - 4 …$ ‍?

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

Problema 9

Qual é a razão da sucessão $1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2, … ?$ ‍

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$\frac{4}{3},$ ‍		$\frac{5}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

Questão para Reflexão

Qual a opção verdadeira sobre uma sucessão aritmética cuja razão é negativa?

Uma razão negativa significa que precisamos subtrair algo de qualquer termo para obter o termo seguinte. Por outras palavras, os termos estão sempre a diminuir.

Não é necessário que todos os termos da sucessão sejam positivos ou que todos sejam negativos. Aqui estão sucessões aritméticas com termos positivos e negativos, mas todas elas têm razões negativas.

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

Repara como todas as sucessões acima têm termos que sempre estão a diminuir.

Desafio

O primeiro termo de uma sucessão aritmética é 10 e a sua razão é sete negativo.

Qual é o quarto termo da sucessão?

O primeiro termo é

10

e a razão é

- 7

. Com estas informações, podemos determinar o quarto termo:

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

O quarto termo é - 11.

O que se segue?

Se estiveres no 11.º ano, aprende sobre fórmulas de progressões aritméticas, que nos dão a informação necessária para encontrar qualquer termo da progressão.

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão

Ordenar por:

Ainda não há comentários.

Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.