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Conteúdo principal

Revisão de progressões geométricas

Revisão e resolução de problemas envolvendo progressões geométricas.

Expressão do termo geral de uma progressão geométrica

Em progressões geométricas, o quociente entre termos consecutivos é sempre constante. Chamamos a esse quociente razão.
Por exemplo, a razão da progressão seguinte é 2:
start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point
Nas expressões dos termos gerais das progressões geométricas, a, start subscript, n, end subscript representa o termo de ordem n.
Esta é a expressão do termo geral de uma progressão geométrica , cujo primeiro termo é start color #11accd, k, end color #11accd e a razão é start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6:
a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, q, end color #ed5fa6, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Esta é a definição por recorrência da progressão.
{a1=kan=an1×q\begin{cases}a_1= \blueD k \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC q \end{cases}
Queres aprender mais sobre progressões geométricas? Vê este vídeo.

Desenvolver progressões geométricas

Suponhamos que queremos desenvolver a progressão geométrica 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point. Podemos ver que cada termo é o termo anterior start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma, point, point, point
Então, simplesmente multiplicamos pelo valor da razão para descobrir que o termo seguinte é 2:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma2, comma, point, point, point
Problema 1
Qual é o próximo termo da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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Como definir progressões por recorrência

Supõe que queremos escrever uma progressão por recorrência a progressão geométrica 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão da progressão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 e que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, a progressão definida por recorrência é dada por:
{a1=54an=an1×13\begin{cases}a_1 = \blueD{54} \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Problema 1
Descobre k e d da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots definida por recorrência.
{a1=kan=an1×q\begin{cases}a_1 = k \\\\ a_{n} = a_{n-1}\times q \end{cases}
k, equals
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
r, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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Como escrever expressões do termo geral

Supõe que queremos escrever uma expressão do termo geral para 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 e que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, a expressão do termo geral é:
Para todo n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, 54, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6, right parenthesis, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Problema 1
Escreve uma expressão do termo geral da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots
Para todo n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals

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