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Lição 4: Construção de progressões geométricas

Revisão de progressões geométricas

Revisão e resolução de problemas envolvendo progressões geométricas.

Expressão do termo geral de uma progressão geométrica

Em progressões geométricas, o quociente entre termos consecutivos é sempre constante. Chamamos a esse quociente razão.

Por exemplo, a razão da progressão seguinte é

2

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Nas expressões dos termos gerais das progressões geométricas,

a_{n}

representa o termo de ordem

n

Esta é a expressão do termo geral de uma progressão geométrica , cujo primeiro termo é

k

e a razão é

r

a_{n} = k \times q^{n - 1}

Esta é a definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} a_{1} = k \\ a_{n} = a_{n - 1} \times q \end{cases}

Queres aprender mais sobre progressões geométricas? Vê este vídeo.

Suponhamos que queremos desenvolver a progressão geométrica

54, 18, 6, …

. Podemos ver que cada termo é o termo anterior

\times \frac{1}{3}

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6, …$ ‍

Então, simplesmente multiplicamos pelo valor da razão para descobrir que o termo seguinte é

2

	$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍		$\times \frac{1}{3} ↷$ ‍
$54,$ ‍		$18,$ ‍		$6,$ ‍		$2, …$ ‍

Problema 1

Qual é o próximo termo da progressão geométrica $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍?

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Supõe que queremos escrever uma progressão por recorrência a progressão geométrica

54, 18, 6, …

Já sabemos que a razão da progressão é

\frac{1}{3}

e que o primeiro termo é

54

. Portanto, a progressão definida por recorrência é dada por:

{\begin{cases} a_{1} = 54 \\ a_{n} = a_{n - 1} \times \frac{1}{3} \end{cases}

Problema 1

Descobre $k$ ‍ e $d$ ‍ da progressão geométrica $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍ definida por recorrência.

{\begin{cases} a_{1} = k \\ a_{n} = a_{n - 1} \times q \end{cases}

k =

r =

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Supõe que queremos escrever uma expressão do termo geral para

54, 18, 6, …

Já sabemos que a razão é

\frac{1}{3}

e que o primeiro termo é

54

. Portanto, a expressão do termo geral é:

Para todo

n \geq 1

a_{n} = 54 \times {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

Problema 1

Escreve uma expressão do termo geral da progressão geométrica $\frac{1}{2}, 2, 8, \dots$ ‍

Para todo

n \geq 1

a_{n} =

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

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