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Álgebra 1

Tema 9: Lição 4

Construção de progressões geométricas
Matemática
Álgebra 1
Sucessões
Construção de progressões geométricas
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Revisão de progressões geométricas

Google Classroom
Revisão e resolução de problemas envolvendo progressões geométricas.

Expressão do termo geral de uma progressão geométrica

Em progressões geométricas, o quociente entre termos consecutivos é sempre constante. Chamamos a esse quociente razão.
Por exemplo, a razão da progressão seguinte é 2:
start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point
Nas expressões dos termos gerais das progressões geométricas, a, start subscript, n, end subscript representa o termo de ordem n.
Esta é a expressão do termo geral de uma progressão geométrica , cujo primeiro termo é start color #11accd, k, end color #11accd e a razão é start color #ed5fa6, r, end color #ed5fa6:
a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, q, end color #ed5fa6, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Esta é a definição por recorrência da progressão.
{a1=kan=an−1×q\begin{cases}a_1= \blueD k \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC q \end{cases}
Queres aprender mais sobre progressões geométricas? Vê este vídeo.

Desenvolver progressões geométricas

Suponhamos que queremos desenvolver a progressão geométrica 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point. Podemos ver que cada termo é o termo anterior start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma, point, point, point
Então, simplesmente multiplicamos pelo valor da razão para descobrir que o termo seguinte é 2:
start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6start color #ed5fa6, times, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, \curvearrowright, end color #ed5fa6
54, comma18, comma6, comma2, comma, point, point, point
Problema 1
Qual é o próximo termo da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Como definir progressões por recorrência

Supõe que queremos escrever uma progressão por recorrência a progressão geométrica 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão da progressão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 e que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, a progressão definida por recorrência é dada por:
{a1=54an=an−1×13\begin{cases}a_1 = \blueD{54} \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Problema 1
Descobre k e d da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots definida por recorrência.
{a1=kan=an−1×q\begin{cases}a_1 = k \\\\ a_{n} = a_{n-1}\times q \end{cases}
k, equals
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
r, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Como escrever expressões do termo geral

Supõe que queremos escrever uma expressão do termo geral para 54, comma, 18, comma, 6, comma, point, point, point Já sabemos que a razão é start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6 e que o primeiro termo é start color #11accd, 54, end color #11accd. Portanto, a expressão do termo geral é:
Para todo n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #11accd, 54, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #ed5fa6, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #ed5fa6, right parenthesis, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Problema 1
Escreve uma expressão do termo geral da progressão geométrica start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, comma, 2, comma, 8, comma, dots
Para todo n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals

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