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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas

Progressão aritmética definida por recorrência

Aprender a encontrar as fórmulas de sequências aritméticas por recorrência. Por exemplo, encontrar a fórmula por recorrência de 3, 5, 7,...

Antes de iniciar esta lição, certifica-te que estás familiarizado com Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas.

Definir por recorrência uma progressão aritmética

A definição por recorrência dá-nos duas partes de informação:

O primeiro termo da progressão
A regra do padrão matemático para se chegar a qualquer termo a partir do termo anterior.

A seguir, temos a definição por recorrência da nossa progressão 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point juntamente com a interpretação para cada parte.

\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{o primeiro termo é 3}}\\\\ a(n) = a(n-1)+2&\leftarrow\gray{\text{adiciona 2 ao termo anterior}} \end{cases}

Na fórmula, n é a ordem do termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o termo de ordem n. Isto significa que a, left parenthesis, 1, right parenthesis é o primeiro termo, e a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis é o termo anterior ao termo de ordem n.

Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de desenvolver a progressão:

a, left parenthesis, n, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesis			equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f
a, left parenthesis, 2, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd
a, left parenthesis, 4, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2	equals, 11

Boa! Esta definição dá-nos a mesma sequência descrita por 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Testa o teu conhecimento

1) Descobre b, left parenthesis, 4, right parenthesis da progressão dada por

\begin{cases}b(1)=-5\\\\ b(n)=b(n-1)+9 \end{cases}

b, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals

Como definir progressões por recorrência

Suponhamos que queríamos definir a progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point por recorrência.

As duas partes da definição devem dar as seguintes informações:

O primeiro termo left parenthesisque é start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
A regra matemática para obter qualquer termo a partir do termo anterior left parenthesisque é "adicionar start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6"right parenthesis

Portanto, a definição por recorrência deve ter o seguinte aspecto:

\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n)=c(n-1)\maroonC{+3} \end{cases}

Testa o teu conhecimento

2) Qual é a definição por recorrência da progressão 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point ?

(Escolha A)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=-5 \end{cases}$
(Escolha B)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=d(n-1)+5 \end{cases}$
(Escolha C)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=d(n-1)-5 \end{cases}$
(Escolha D)
$\begin{cases}d(1)=12\\\\ d(n)=-5\cdot d(n-1) \end{cases}$

3) Completa os valores A e B em falta na progressão 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point definida por recorrência.

\begin{cases}e(1)=A\\\\ e(n)=e(n-1)+B \end{cases}


A, equals A tua resposta deve ser um número inteiro como 6 uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5 uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4 uma fração como 7, slash, 4 um número decimal exato como 0, comma, 75 um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals A tua resposta deve ser um número inteiro como 6 uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5 uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4 uma fração como 7, slash, 4 um número decimal exato como 0, comma, 75 um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Completa os valores A e B em falta na progressão minus, 1, comma, minus, 4, comma, minus, 7, comma, point, point, point definida por recorrência.

\begin{cases}f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}


A, equals A tua resposta deve ser um número inteiro como 6 uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5 uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4 uma fração como 7, slash, 4 um número decimal exato como 0, comma, 75 um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals A tua resposta deve ser um número inteiro como 6 uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5 uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4 uma fração como 7, slash, 4 um número decimal exato como 0, comma, 75 um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pergunta para reflexão

5) Aqui está a expressão geral de progressões aritméticas definidas por recorrência.

\begin{cases}g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}

Qual é a razão da progressão?

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