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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra 1
Sucessões
Construção de progressões aritméticas
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Expressão do termo geral de uma progressão aritmética

Google Classroom
Aprender a encontrar o termo geral de progressões aritméticas. Por exemplo, encontrar o termo geral de 3, 5, 7,...
Antes de iniciar esta lição, certifica-te que estás familiarizado com Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas.

Calcular um termo a partir da expressão do termo geral

Aqui está a fórmula do termo geral da progressão aritmética 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Na fórmula, n é qualquer ordem de termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o termo de ordem n.
Esta fórmula permite-nos simplesmente inserir o número da ordem do termo no qual estamos interessados e obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de inserir n, equals, 5 na fórmula do termo geral.
a(5)=3+2(5−1)=3+2×4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\times 4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Boa! Este é, realmente, o quinto termo de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Testa o teu conhecimento

6) Descobre b, left parenthesis, 10, right parenthesis da progressão dada por b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Como escrever expressões do termo geral

Considera a progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point O primeiro termo da progressão é start color #0d923f, 5, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Podemos obter qualquer termo da progressão através do primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e por adicionar a razão start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente. Vê, por exemplo, os cálculos seguintes relacionados com os primeiros termos.
nCálculo do n, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
A tabela mostra que podemos obter o termo de ordem n a partir do primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e adicionando n, minus, 1 vezes a razão start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Isto pode ser escrito algebricamente como start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis. Esta expressão simplificada tem a forma de 3n + 2.
No geral, esta é a expressão padrão do termo geral de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Testa o teu conhecimento

2) Escreve uma expressão do termo geral para a progressão aritmética 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Escreve uma expressão do termo geral para a progressão aritmética 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) A expressão do termo geral de uma progressão é f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Qual é o primeiro termo da progressão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Qual é a razão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Expressões equivalentes do termo geral

As expressões do termo geral de uma progressão podem ser escritas de muitas formas.
Por exemplo, todas as expressões escritas a seguir definem a progressão aritmética de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (esta é a expressão padrão)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o n, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo respectivo. (Verifica tu próprio que as outras expressões estão corretas!).
Diferentes expressões do termo geral de uma mesma progressão designam-se equivalentes.

Um equívoco comum

Uma progressão aritmética pode ter diferentes expressões equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a razão.
Por exemplo, a progressão aritmética 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point tem um primeiro termo de start color #0d923f, 2, end color #0d923f e uma razão de start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
A expressão start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis descreve esta sequência, mas a expressão start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n descreve uma outra progressão.
Para transformar a expressão 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis numa expressão equivalente a A, plus, B, n, podemos desenvolver os parênteses e simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Algumas pessoas podem preferir a fórmula minus, 4, plus, 6, n em vez da fórmula equivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis porque é mais curta. A parte interessante da expressão mais longa (a expressão padrão) é que indica-nos o primeiro termo.

Testa o teu conhecimento

5) Encontra todas as expressões corretas da progressão aritmética 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Seleciona todas as respostas corretas:

Problemas desafio

6*) Encontra o 124, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo da progressão aritmética 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 5 e o décimo termo é 59.
Qual é a razão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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