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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 9
Lição 2: Construção de progressões aritméticas- Progressão aritmética definida por recorrência
- Progressão aritmética definida por recorrência
- Progressão aritmética definida por recorrência
- Expressão do termo geral de uma progressão aritmética
- Expressão do termo geral de uma progressão aritmética
- Expressão do termo geral de uma progressão aritmética
- O centésimo termo de uma sequência
- Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas
- Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas
- Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas
- Revisão de progressões aritméticas
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Expressão do termo geral de uma progressão aritmética
Aprender a encontrar o termo geral de progressões aritméticas. Por exemplo, encontrar o termo geral de 3, 5, 7,...
Antes de iniciar esta lição, certifica-te que estás familiarizado com Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas.
Calcular um termo a partir da expressão do termo geral
Aqui está a fórmula do termo geral da progressão aritmética 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Na fórmula, n é qualquer ordem de termo e a, left parenthesis, n, right parenthesis é o termo de ordem n.
Esta fórmula permite-nos simplesmente inserir o número da ordem do termo no qual estamos interessados e obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de inserir n, equals, 5 na fórmula do termo geral.
Boa! Este é, realmente, o quinto termo de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
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Como escrever expressões do termo geral
Considera a progressão aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point O primeiro termo da progressão é start color #0d923f, 5, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Podemos obter qualquer termo da progressão através do primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e por adicionar a razão start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6 repetidamente. Vê, por exemplo, os cálculos seguintes relacionados com os primeiros termos.
n | Cálculo do n, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo | ||
---|---|---|---|
1 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5 | |
2 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8 | |
3 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11 | |
4 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14 | |
5 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, times, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17 |
A tabela mostra que podemos obter o termo de ordem n a partir do primeiro termo start color #0d923f, 5, end color #0d923f e adicionando n, minus, 1 vezes a razão start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Isto pode ser escrito algebricamente como start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis. Esta expressão simplificada tem a forma de 3n + 2.
No geral, esta é a expressão padrão do termo geral de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
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Expressões equivalentes do termo geral
As expressões do termo geral de uma progressão podem ser escritas de muitas formas.
Por exemplo, todas as expressões escritas a seguir definem a progressão aritmética de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
- 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (esta é a expressão padrão)
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o n, start superscript, start text, o, end text, end superscript termo respectivo. (Verifica tu próprio que as outras expressões estão corretas!).
Diferentes expressões do termo geral de uma mesma progressão designam-se equivalentes.
Um equívoco comum
Uma progressão aritmética pode ter diferentes expressões equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a razão.
Por exemplo, a progressão aritmética 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point tem um primeiro termo de start color #0d923f, 2, end color #0d923f e uma razão de start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
A expressão start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis descreve esta sequência, mas a expressão start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n descreve uma outra progressão.
Para transformar a expressão 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis numa expressão equivalente a A, plus, B, n, podemos desenvolver os parênteses e simplificar:
Algumas pessoas podem preferir a fórmula minus, 4, plus, 6, n em vez da fórmula equivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis porque é mais curta. A parte interessante da expressão mais longa (a expressão padrão) é que indica-nos o primeiro termo.
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