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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra 1
Sucessões
Construção de progressões aritméticas
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Expressão do termo geral de uma progressão aritmética

Google Classroom
Aprender a encontrar o termo geral de progressões aritméticas. Por exemplo, encontrar o termo geral de 3, 5, 7,...
Antes de iniciar esta lição, certifica-te que estás familiarizado com Introdução às expressões algébricas de progressões aritméticas.

Calcular um termo a partir da expressão do termo geral

Aqui está a fórmula do termo geral da progressão aritmética 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
Na fórmula, n é qualquer ordem de termo e a(n) é o termo de ordem n.
Esta fórmula permite-nos simplesmente inserir o número da ordem do termo no qual estamos interessados e obter o valor desse termo.
Para encontrar o quinto termo, por exemplo, precisamos de inserir n=5 na fórmula do termo geral.
a(5)=3+2(5−1)=3+2×4=3+8=11
Boa! Este é, realmente, o quinto termo de 3,5,7,…

Testa o teu conhecimento

6) Descobre b(10) da progressão dada por b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Como escrever expressões do termo geral

Considera a progressão aritmética 5,8,11,… O primeiro termo da progressão é 5 e a razão é 3.
Podemos obter qualquer termo da progressão através do primeiro termo 5 e por adicionar a razão 3 repetidamente. Vê, por exemplo, os cálculos seguintes relacionados com os primeiros termos.
nCálculo do no termo
15=5+0×3=5
25+3=5+1×3=8
35+3+3=5+2×3=11
45+3+3+3=5+3×3=14
55+3+3+3+3=5+4×3=17
A tabela mostra que podemos obter o termo de ordem n a partir do primeiro termo 5 e adicionando n−1 vezes a razão 3. Isto pode ser escrito algebricamente como 5+3(n−1). Esta expressão simplificada tem a forma de 3n + 2.
No geral, esta é a expressão padrão do termo geral de uma progressão aritmética, cujo primeiro termo é A e a razão é B:
A+B(n−1)

Testa o teu conhecimento

2) Escreve uma expressão do termo geral para a progressão aritmética 2,9,16,….
d(n)=

3) Escreve uma expressão do termo geral para a progressão aritmética 9,5,1,….
e(n)=

4) A expressão do termo geral de uma progressão é f(n)=−6+2(n−1).
Qual é o primeiro termo da progressão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
Qual é a razão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Expressões equivalentes do termo geral

As expressões do termo geral de uma progressão podem ser escritas de muitas formas.
Por exemplo, todas as expressões escritas a seguir definem a progressão aritmética de 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (esta é a expressão padrão)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
As fórmulas podem parecer diferentes, mas o importante é que podemos inserir um valor de n e obter o no termo respectivo. (Verifica tu próprio que as outras expressões estão corretas!).
Diferentes expressões do termo geral de uma mesma progressão designam-se equivalentes.

Um equívoco comum

Uma progressão aritmética pode ter diferentes expressões equivalentes, mas é importante lembrar que apenas a forma padrão nos dá o primeiro termo e a razão.
Por exemplo, a progressão aritmética 2,8,14,… tem um primeiro termo de 2 e uma razão de 6.
A expressão 2+6(n−1) descreve esta sequência, mas a expressão 2+6n descreve uma outra progressão.
Para transformar a expressão 2+6(n−1) numa expressão equivalente a A+Bn, podemos desenvolver os parênteses e simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Algumas pessoas podem preferir a fórmula −4+6n em vez da fórmula equivalente 2+6(n−1) porque é mais curta. A parte interessante da expressão mais longa (a expressão padrão) é que indica-nos o primeiro termo.

Testa o teu conhecimento

5) Encontra todas as expressões corretas da progressão aritmética 12,7,2,…
Seleciona todas as respostas corretas:

Problemas desafio

6*) Encontra o 124o termo da progressão aritmética 199,196,193,…
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

7*) O primeiro termo de uma progressão aritmética é 5 e o décimo termo é 59.
Qual é a razão?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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