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Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas

Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas

Aprender a fazer a conversão entre expressões por recorrência e termo geral de progressões aritméticas.

Antes de iniciares esta lição, certifica-te que sabes definir por recorrência e descobrir o termo geral de progressões aritméticas.

Escrever a expressão do termo geral a partir da definição por recorrência

Uma progressão aritmética pode ser definida por recorrência da seguinte forma.

${\begin{cases} a (1) = 3 \\ a (n) = a (n - 1) + 2 \end{cases}$ ‍

Recorda que esta expressão dá-nos duas informações:

O primeiro termo é $3$ ‍
Para se obter qualquer termo a partir do anterior, adiciona-se $2$ ‍. Por outras palavras, a razão é $2$ ‍.

Vamos escrever a expressão do termo geral da progressão.

Lembra-te que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é

A

e a razão é

B

, com a expressão padrão

A + B (n - 1)

Portanto, o termo geral da progressão é

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Testa o teu conhecimento

1) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.

{\begin{cases} b (1) = - 22 \\ b (n) = b (n - 1) + 7 \end{cases}

b (n) =

2) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.

{\begin{cases} c (1) = 8 \\ c (n) = c (n - 1) - 13 \end{cases}

c (n) =

Escrever uma progressão aritmética por recorrência a partir do termo geral

Exemplo 1: A expressão é dada na forma padrão

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.

$d (n) = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Esta expressão está na forma padrão

A + B (n - 1)

onde

A

é o primeiro termo e

B

é a razão. Assim sendo,

O primeiro termo da progressão é $5$ ‍, e
a razão é $16$ ‍.

Vamos definir a progressão por recorrência. Lembra-te que ao fazê-lo existem duas partes de informação:

O primeiro termo $($ ‍que sabemos ser $5)$ ‍
O padrão matemático para obter qualquer termo da progressão a partir do anterior $($ ‍que sabemos ser "adicionar $16$ ‍" $)$ ‍

Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} d (1) = 5 \\ d (n) = d (n - 1) + 16 \end{cases}

Exemplo 2: Expressão dada na forma simplifcada

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.

$e (n) = 10 + 2 n$ ‍

Repara que esta expressão não está na forma padrão

A + B (n - 1)

Por esta razão, não podemos simplesmten usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a razão. Em vez disso podemos descobrir os primeiros dois termos da progressão:

$e (1) = 10 + 2 \times 1 = 12$ ‍
$e (2) = 10 + 2 \times 2 = 14$ ‍

Agora, podemos ver que o primeiro termo é

12

e a razão é

2

Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} e (1) = 12 \\ e (n) = e (n - 1) + 2 \end{cases}

Testa o teu conhecimento

3) O termo geral de uma progressão aritmética é

f (n) = 5 + 12 (n - 1)

Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

4) O termo geral de uma progressão aritmética é

g (n) = - 11 - 8 (n - 1)

Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

5) O termo geral de uma progressão aritmética é

h (n) = 1 + 4 n

Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} h (1) = A \\ h (n) = h (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

6) O termo geral de uma progressão aritmética é

i (n) = 23 - 6 n

Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.

{\begin{cases} i (1) = A \\ i (n) = i (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Desafio

7*) Seleciona todas as expressões que representam corretamente a progressão aritmética $101, 114, 127, …$ ‍

O primeiro termo da progressão é

101

e a razão é

13

Portanto, esta progressão pode definir-se por recorrência da seguinte forma.

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍

As outras definições por recorrência têm o primeiro termo errado.

Esta é a expressão do termo geral da progressão na forma padrão.

$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍

Podemos simplificá-la para encontrar outra expressão que também esteja correta.

$\begin{aligned} j (n) & = 101 + 13 (n - 1) \\ = 101 + 13 n - 13 \\ = 88 + 13 n \end{aligned}$ ‍

As outras expressões do termo geral não são equivalentes à fórmula acima e, portanto, estão incorretas.

Concluindo, estas são as expressões corretas:

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍
$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍
$j (n) = 88 + 13 n$ ‍

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