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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 9

Lição 2: Construção de progressões aritméticas
Matemática
Álgebra 1
Sucessões
Construção de progressões aritméticas
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Termo geral e definição por recorrência de progressões aritméticas

Google Classroom
Aprender a fazer a conversão entre expressões por recorrência e termo geral de progressões aritméticas.
Antes de iniciares esta lição, certifica-te que sabes definir por recorrência e descobrir o termo geral de progressões aritméticas.

Escrever a expressão do termo geral a partir da definição por recorrência

Uma progressão aritmética pode ser definida por recorrência da seguinte forma.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Recorda que esta expressão dá-nos duas informações:
  • O primeiro termo é start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Para se obter qualquer termo a partir do anterior, adiciona-se start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Por outras palavras, a razão é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Vamos escrever a expressão do termo geral da progressão.
Lembra-te que podemos representar uma progressão cujo primeiro termo é start color #0d923f, A, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, com a expressão padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Portanto, o termo geral da progressão é a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

1) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Escreve uma expressão do termo geral da progressão.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Escrever uma progressão aritmética por recorrência a partir do termo geral

Exemplo 1: A expressão é dada na forma padrão

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Esta expressão está na forma padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis onde start color #0d923f, A, end color #0d923f é o primeiro termo e start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 é a razão. Assim sendo,
  • O primeiro termo da progressão é start color #0d923f, 5, end color #0d923f, e
  • a razão é start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Vamos definir a progressão por recorrência. Lembra-te que ao fazê-lo existem duas partes de informação:
  1. O primeiro termo left parenthesisque sabemos ser start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. O padrão matemático para obter qualquer termo da progressão a partir do anterior left parenthesisque sabemos ser "adicionar start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Exemplo 2: Expressão dada na forma simplifcada

Dão-nos a expressão do termo geral de uma progressão aritmética.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Repara que esta expressão não está na forma padrão start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Por esta razão, não podemos simplesmten usar a estrutura da fórmula para encontrar o primeiro termo e a razão. Em vez disso podemos descobrir os primeiros dois termos da progressão:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, times, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, times, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Agora, podemos ver que o primeiro termo é start color #0d923f, 12, end color #0d923f e a razão é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Portanto, esta é a definição por recorrência da progressão.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Testa o teu conhecimento

3) O termo geral de uma progressão aritmética é f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) O termo geral de uma progressão aritmética é g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) O termo geral de uma progressão aritmética é h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) O termo geral de uma progressão aritmética é i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Completa os valores A e B em falta na definição por recorrência da progressão.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio

7*) Seleciona todas as expressões que representam corretamente a progressão aritmética 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Seleciona todas as respostas corretas:

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