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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 13
Lição 9: Estratégia para fatorizar expressões de 2.º grauFatorizar expressões de 2.º grau de qualquer tipo
Ligar tudo o que aprendeste sobre fatorização de expressões de 2.º grau de forma a fatorizar qualquer tipo de expressão de 2.º grau.
O que precisas saber para esta lição
Os métodos de fatorização seguintes serão usados nesta lição:
O que vais aprender nesta lição
Neste artigo vais poder praticar a fatorização de expressões de quadráticas (de 2.º grau), seja qual for a sua forma, utilizando todos estes métodos.
Introdução: Revisão de métodos de fatorização
Método | Exemplo | Quando se pode aplicar? |
---|---|---|
Colocar fatores comuns em evidência | Se cada termo do polinómio tiver um fator comum (MMC ou m.d.c.). | |
Fórmula soma-produto | Se o polinómio está na forma | |
Método de agrupamento | Se o polinómio está na forma | |
Quadrado de polinómios | Se o primeiro e último termos são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas. | |
Diferença de quadrados | Se a expressão representa uma diferença de quadrados. |
Resumindo
Na prática, raramente te vai ser dito que tipo de método(s) usar num problema de fatorização. Por isso é importante que desenvolvas algum tipo de lista de verificação para usares e te ajudar a facilitar o processo de fatorização.
Aqui está um exemplo dessa lista de verificação, na qual te é solicitado uma série de perguntas a fim de determinar como fatorizar o polinómio de 2.º grau.
Fatorização de expressões de 2.º grau
Antes de começar qualquer problema de fatorização, é útil escrever a sua expressão na forma canónica.
Só depois podes prosseguir para a lista de perguntas seguinte:
Pergunta 1: Existe um fator comum?
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.
Colocar o MMC ou m.d.c. em evidência é um passo muito importante no processo de fatorização, porque torna os números mais pequenos. Isto, por sua vez, facilita reconhecer os padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (ou seja, ou )?
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão . Se não, seguir para a Pergunta 3.
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio (ou seja, ou )?
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão . Se não, seguir para a Pergunta 4.
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão
Pergunta 4:
a.) Há alguma expressão da forma?
Se não existir, seguir para a Pergunta 5. Se existir, ir para b).
b.) Existem fatores decuja soma seja ?
se sim, então fatorizar de acordo com a fórmula soma-produto. Caso contrário, a expressão quadrática não pode ser mais fatorizada.
Pergunta 5: Existem fatores de cuja soma seja ?
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma com . Se existirem fatores de cuja soma seja , fatoriza-a recorrendo ao método de agrupamento. Caso contrário, a expressão do 2.º grau não pode ser decomposta em mais fatores.
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma
Esta lista de verificação vai ajudar-te a garantir que já fatorizaste a expressão quadrática de forma completa!
Com isto no pensamento, vamos tentar alguns exemplos.
Exemplo 1: Fatorizar
Repara que a expressão já está na forma canónica. Podemos percorrer a lista de verificação.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O m.d.c. de e é . Podemos colocar em evidência da seguinte forma:
Sim. O m.d.c. de
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Sim. . Podemos usar a diferença de quadrados para continuar a fatorizar o polinómio como mostrado abaixo.
Sim.
Já não existem termos elevados ao quadrado nesta expressão. Fatorizámos o polinómio de forma completa.
Em conclusão, .
Exemplo 2: Fatorizar
A expressão quadrática está outra vez na forma canónica. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Não. Os termos , e não têm um fator comum. Pergunta seguinte.
Não. Os termos
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Existe um termo logo não pode ser uma diferença de quadrados. Pergunta seguinte.
Não. Existe um termo
Pergunta 3: Existe um trinómio que seja um quadrado de polinómio?
Sim. O primeiro termo é o quadrado de um monómio, uma vez que , e o último termo é um quadrado perfeito, uma vez que . E o termo do meio também é duas vezes o produto da raíz quadrada desses números .
Sim. O primeiro termo é o quadrado de um monómio, uma vez que
Podemos usar o método do quadrado de polinómios para fatorizar a expressão quadrática.
Em conclusão, .
Exemplo 3: Fatorizar
Esta expressão quadrática não está na forma canónica. Podemos reescrevê-la como e depois prosseguir com a lista de perguntas.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de , e é . Podemos colocar este fator em evidência da seguinte forma:
Sim. O fator comum de
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Repara que não é um quadrado perfeito, logo esta expressão não pode ser um caso notável. Pergunta seguinte.
Não. Repara que
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma ?
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma .
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma
Pergunta 4b: Existem fatores de cuja soma seja ?**
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto é cuja soma é .
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto é
Uma vez que e , podemos continuar a fatorizar da seguinte forma:
Em conclusão, .
Exemplo 4: Fatorizar
Repara que esta expressão quadrática já está na forma canónica.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de , e é . Podemos fatorizar a expressão da seguinte forma:
Sim. O fator comum de
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Pergunta seguinte.
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma ?
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é . Pergunta seguinte.
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é
Pergunta 4b: Existem fatores de cuja soma seja ?
A expressão quadrática resultante é e, como tal, pretendemos encontrar números (fatores) cujo produto seja e cuja soma seja .
A expressão quadrática resultante é
Uma vez que e , a resposta é sim.
Podemos agora escrever o termos do meio como e usar o método de agrupar para fatorizar:
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