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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 9: Estratégia para fatorizar expressões de 2.º grau

Fatorizar expressões de 2.º grau de qualquer tipo

Ligar tudo o que aprendeste sobre fatorização de expressões de 2.º grau de forma a fatorizar qualquer tipo de expressão de 2.º grau.

O que precisas saber para esta lição

Os métodos de fatorização seguintes serão usados nesta lição:

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo vais poder praticar a fatorização de expressões de quadráticas (de 2.º grau), seja qual for a sua forma, utilizando todos estes métodos.

Introdução: Revisão de métodos de fatorização

Método	Exemplo	Quando se pode aplicar?
Colocar fatores comuns em evidência	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Se cada termo do polinómio tiver um fator comum (MMC ou m.d.c.).
Fórmula soma-produto	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Se o polinómio está na forma $x^{2} + b x + c$ ‍ e há dois números cujo produto é $c$ ‍ e a soma é $b$ ‍.
Método de agrupamento	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Se o polinómio está na forma $a x^{2} + b x + c$ ‍ e há números cujo produto é $a c$ ‍ e a soma é $b$ ‍.
Quadrado de polinómios	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Se o primeiro e último termos são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, raramente te vai ser dito que tipo de método(s) usar num problema de fatorização. Por isso é importante que desenvolvas algum tipo de lista de verificação para usares e te ajudar a facilitar o processo de fatorização.

Aqui está um exemplo dessa lista de verificação, na qual te é solicitado uma série de perguntas a fim de determinar como fatorizar o polinómio de 2.º grau.

Fatorização de expressões de 2.º grau

Antes de começar qualquer problema de fatorização, é útil escrever a sua expressão na forma canónica.

[Porquê?]

Só depois podes prosseguir para a lista de perguntas seguinte:

Pergunta 1: Existe um fator comum?
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.

Colocar o MMC ou m.d.c. em evidência é um passo muito importante no processo de fatorização, porque torna os números mais pequenos. Isto, por sua vez, facilita reconhecer os padrões!

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (ou seja, $x^{2} - 16$ ‍ ou $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Se não, seguir para a Pergunta 3.

Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio (ou seja, $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ ou $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão

a^{2} \pm 2 a b + b = (a \pm b)^{2}

. Se não, seguir para a Pergunta 4.

Pergunta 4:

a.) Há alguma expressão da forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Se não existir, seguir para a Pergunta 5. Se existir, ir para b).

b.) Existem fatores de $c$ ‍ cuja soma seja $b$ ‍?
se sim, então fatorizar de acordo com a fórmula soma-produto. Caso contrário, a expressão quadrática não pode ser mais fatorizada.

Pergunta 5: Existem fatores de $a c$ ‍ cuja soma seja $b$ ‍?
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma

a x^{2} + b x + c

com

a \neq 1

. Se existirem fatores de

a c

cuja soma seja

b

, fatoriza-a recorrendo ao método de agrupamento. Caso contrário, a expressão do 2.º grau não pode ser decomposta em mais fatores.

Esta lista de verificação vai ajudar-te a garantir que já fatorizaste a expressão quadrática de forma completa!

[O que significa fatorizar até não ser possível fatorizar mais?]

Com isto no pensamento, vamos tentar alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorizar $5 x^{2} - 80$ ‍

Repara que a expressão já está na forma canónica. Podemos percorrer a lista de verificação.

Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O m.d.c. de

5 x^{2}

80

5

. Podemos colocar em evidência da seguinte forma:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Sim.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Podemos usar a diferença de quadrados para continuar a fatorizar o polinómio como mostrado abaixo.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Já não existem termos elevados ao quadrado nesta expressão. Fatorizámos o polinómio de forma completa.

Em conclusão,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Exemplo 2: Fatorizar $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

A expressão quadrática está outra vez na forma canónica. Vamos começar a lista de verificação!

Pergunta 1: Existe um factor comum?
Não. Os termos

4 x^{2}

12 x

9

não têm um fator comum. Pergunta seguinte.

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Existe um termo

x

logo não pode ser uma diferença de quadrados. Pergunta seguinte.

Pergunta 3: Existe um trinómio que seja um quadrado de polinómio?
Sim. O primeiro termo é o quadrado de um monómio, uma vez que

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, e o último termo é um quadrado perfeito, uma vez que

9 = (3)^{2}

. E o termo do meio também é duas vezes o produto da raíz quadrada desses números

12 x = 2 (2 x) (3)

Podemos usar o método do quadrado de polinómios para fatorizar a expressão quadrática.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Em conclusão,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Exemplo 3: Fatorizar $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Esta expressão quadrática não está na forma canónica. Podemos reescrevê-la como

3 x^{2} + 12 x - 63

e depois prosseguir com a lista de perguntas.

Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de

3 x^{2}

12 x

63

3

. Podemos colocar este fator em evidência da seguinte forma:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.

Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Repara que

21

não é um quadrado perfeito, logo esta expressão não pode ser um caso notável. Pergunta seguinte.

Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma

x^{2} + 4 x - 21

Pergunta 4b: Existem fatores de $c$ ‍ cuja soma seja $b$ ‍?**
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto é

- 21

cuja soma é

4

Uma vez que

7 \cdot (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, podemos continuar a fatorizar da seguinte forma:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Em conclusão,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Exemplo 4: Fatorizar $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Repara que esta expressão quadrática já está na forma canónica.

Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de

4 x^{2}

18 x

10

2

. Podemos fatorizar a expressão da seguinte forma:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.

Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Pergunta seguinte.

Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma $x^{2} + b x + c$ ‍?
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é

2

. Pergunta seguinte.

Pergunta 4b: Existem fatores de $c$ ‍ cuja soma seja $b$ ‍?
A expressão quadrática resultante é

2 x^{2} + 9 x - 5

e, como tal, pretendemos encontrar números (fatores) cujo produto seja

2 \cdot (- 5) = - 10

e cuja soma seja

9

Uma vez que

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

, a resposta é sim.

Podemos agora escrever o termos do meio como

- 1 x + 10 x

e usar o método de agrupar para fatorizar:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Separação do termo do meio \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Agrupar termos \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Colocar em evidência MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcela \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Colocar (2 x - 1) em evidência \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatoriza $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

3) Fatoriza $72 x^{2} - 2$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatoriza $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatoriza $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

6) Fatoriza $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

7) Fatoriza $3 x^{2} + 27$ ‍ até não ser possível fatorizar mais.

[Preciso de ajuda!]

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O que precisas saber para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Introdução: Revisão de métodos de fatorização

Resumindo

Fatorização de expressões de 2.º grau

Exemplo 1: Fatorizar 5x2−80‍

Exemplo 2: Fatorizar 4x2+12x+9‍

Exemplo 3: Fatorizar 12x−63+3x2‍

Exemplo 4: Fatorizar 4x2+18x−10‍

Testa o teu conhecimento

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Exemplo 1: Fatorizar $5 x^{2} - 80$ ‍

Exemplo 2: Fatorizar $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Exemplo 3: Fatorizar $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Exemplo 4: Fatorizar $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍