If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se estiveres protegido por um filtro da Web, certifica-te de que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Fatorizar expressões de 2.º grau de qualquer tipo

Ligar tudo o que aprendeste sobre fatorização de expressões de 2.º grau de forma a fatorizar qualquer tipo de expressão de 2.º grau.

O que precisas saber para esta lição

Os métodos de fatorização seguintes serão usados nesta lição:

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo vais poder praticar a fatorização de expressões de quadráticas (de 2.º grau), seja qual for a sua forma, utilizando todos estes métodos.

Introdução: Revisão de métodos de fatorização

MétodoExemploQuando se pode aplicar?
Colocar fatores comuns em evidência= 6x2+3x=3x(2x+1)Se cada termo do polinómio tiver um fator comum (MMC ou m.d.c.).
Fórmula soma-produto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)Se o polinómio está na forma x2+bx+c e há dois números cujo produto é c e a soma é b.
Método de agrupamento= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)Se o polinómio está na forma ax2+bx+c e há números cujo produto é ac e a soma é b.
Quadrado de polinómios= x2+10x+25=(x+5)2Se o primeiro e último termos são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados=  x29=(x3)(x+3)Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, raramente te vai ser dito que tipo de método(s) usar num problema de fatorização. Por isso é importante que desenvolvas algum tipo de lista de verificação para usares e te ajudar a facilitar o processo de fatorização.
Aqui está um exemplo dessa lista de verificação, na qual te é solicitado uma série de perguntas a fim de determinar como fatorizar o polinómio de 2.º grau.

Fatorização de expressões de 2.º grau

Antes de começar qualquer problema de fatorização, é útil escrever a sua expressão na forma canónica.
Só depois podes prosseguir para a lista de perguntas seguinte:
Pergunta 1: Existe um fator comum?
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.
Colocar o MMC ou m.d.c. em evidência é um passo muito importante no processo de fatorização, porque torna os números mais pequenos. Isto, por sua vez, facilita reconhecer os padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (ou seja, x216 ou 25x29)?
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão a2b2=(a+b)(ab). Se não, seguir para a Pergunta 3.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio (ou seja, x210x+25 ou 4x2+12x+9)?
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão a2±2ab+b=(a±b)2. Se não, seguir para a Pergunta 4.
Pergunta 4:
a.) Há alguma expressão da forma x2+bx+c?
Se não existir, seguir para a Pergunta 5. Se existir, ir para b).
b.) Existem fatores de c cuja soma seja b?
se sim, então fatorizar de acordo com a fórmula soma-produto. Caso contrário, a expressão quadrática não pode ser mais fatorizada.
Pergunta 5: Existem fatores de ac cuja soma seja b?
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma ax2+bx+c com a1. Se existirem fatores de ac cuja soma seja b, fatoriza-a recorrendo ao método de agrupamento. Caso contrário, a expressão do 2.º grau não pode ser decomposta em mais fatores.
Esta lista de verificação vai ajudar-te a garantir que já fatorizaste a expressão quadrática de forma completa!
Com isto no pensamento, vamos tentar alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorizar 5x280

Repara que a expressão já está na forma canónica. Podemos percorrer a lista de verificação.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O m.d.c. de 5x2 e 80 é 5. Podemos colocar em evidência da seguinte forma:
5x280=5(x216)
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Sim. x216=(x)2(4)2. Podemos usar a diferença de quadrados para continuar a fatorizar o polinómio como mostrado abaixo.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)
Já não existem termos elevados ao quadrado nesta expressão. Fatorizámos o polinómio de forma completa.
Em conclusão, 5x280=5(x+4)(x4).

Exemplo 2: Fatorizar 4x2+12x+9

A expressão quadrática está outra vez na forma canónica. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Não. Os termos 4x2, 12x e 9 não têm um fator comum. Pergunta seguinte.
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Existe um termo x logo não pode ser uma diferença de quadrados. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um trinómio que seja um quadrado de polinómio?
Sim. O primeiro termo é o quadrado de um monómio, uma vez que 4x2=(2x)2, e o último termo é um quadrado perfeito, uma vez que 9=(3)2. E o termo do meio também é duas vezes o produto da raíz quadrada desses números 12x=2(2x)(3).
Podemos usar o método do quadrado de polinómios para fatorizar a expressão quadrática.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Em conclusão, 4x2+12x+9=(2x+3)2.

Exemplo 3: Fatorizar 12x63+3x2

Esta expressão quadrática não está na forma canónica. Podemos reescrevê-la como 3x2+12x63 e depois prosseguir com a lista de perguntas.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 3x2, 12x e 63 é 3. Podemos colocar este fator em evidência da seguinte forma:
3x2+12x63=3(x2+4x21)
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Repara que 21 não é um quadrado perfeito, logo esta expressão não pode ser um caso notável. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x2+bx+c?
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma x2+4x21.
Pergunta 4b: Existem fatores de c cuja soma seja b?**
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto é21 cuja soma é 4.
Uma vez que 7(3)=21 e 7+(3)=4, podemos continuar a fatorizar da seguinte forma:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)
Em conclusão, 3x2+12x63=3(x+7)(x3).

Exemplo 4: Fatorizar 4x2+18x10

Repara que esta expressão quadrática já está na forma canónica.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 4x2, 18x e 10 é 2. Podemos fatorizar a expressão da seguinte forma:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x2+bx+c?
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é 2. Pergunta seguinte.
Pergunta 4b: Existem fatores de c cuja soma seja b?
A expressão quadrática resultante é 2x2+9x5 e, como tal, pretendemos encontrar números (fatores) cujo produto seja 2(5)=10 e cuja soma seja 9.
Uma vez que (1)10=10 e (1)+10=9, a resposta é sim.
Podemos agora escrever o termos do meio como 1x+10x e usar o método de agrupar para fatorizar:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Separação do termo do meio=2((2x21x)+(10x5))Agrupar termos=2(x(2x1)+5(2x1))Colocar em evidência MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcela=2(2x1)(x+5)Colocar (2x1) em evidência

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 2x2+4x16 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 3x260x+300 até não ser possível fatorizar mais.

3) Fatoriza 72x22 até não ser possível fatorizar mais.

4) Fatoriza 5x2+5x+15 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 8x212x8 até não ser possível fatorizar mais.

6) Fatoriza 5618x+x2 até não ser possível fatorizar mais.

7) Fatoriza 3x2+27 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

Queres participar na conversa?

Ainda não há comentários.
Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.