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Conteúdo principal

Fatorizar polinómios de 2.º grau: coeficiente = 1

Aprender como fatorizar expressões quadráticas como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, inverter o processo de multiplicação de polinómios. Para saber mais sobre isso, lê o artigo anterior sobre Fatores comum em evidência.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição vais aprender como fatorizar um polinómio da forma x2+bx+c como um produto de dois binómios.

Revisão: Multiplicar binómios

Vamos considerar a expressão (x+2)(x+4).
Podemos encontrar o produto, aplicando a propriedade distributiva várias vezes.
Então temos que (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
A partir daqui vemos que x+2 e x+4 são fatores de x2+6x+8, mas como podemos encontrar estes factores se não começarmos com eles?

Fatorizar trinómios

Podemos inverter o processo de multiplicação binomial mostrado acima a fim de fatorizar um trinómio (que é um polinómio com 3 termos).
Por outras palavras, se começarmos com o polinómio x2+6x+8, podemos usar a fatorização para escrevê-lo como um produto de dois binómios, (x+2)(x+4).
Vamos ver alguns exemplos para ver como isto é feito.

Exemplo 1: Fatorizar x2+5x+6

Para fatorizar x2+5x+6, primeiro precisamos encontrar dois números que multiplicados dão 6 (número constante) e que adicionados dão 5 (coeficiente de x).
Estes dois números são 2 e 3 uma vez que 23=6 e 2+3=5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: (x+2) e (x+3).
Em conclusão, fatorizámos o trinómio da seguinte forma:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Para verificar a fatorização, podemos multiplicar os dois binómios:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
O produto de x+2 e x+3 é realmente x2+5x+6. Nossa fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x2+7x+10.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x2+9x+20.

Vamos ver mais alguns exemplos... e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: Fatorizar x25x+6

Para fatorizar x25x+6, vamos descobrir primeiro dois números que multiplicados dão 6 e que somados dão 5.
Esses dois números são 2 e 3 uma vez que (2)(3)=6 e (2)+(3)=5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: (x+(2)) e (x+(3)).
A fatorização é a que se encontra abaixo:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Fatorização padrão: Repara que os números que são preciso fatorizar em x25x+6 são ambos negativos (2 e 3). Isto deve-se ao facto do produto ser positivo (6) e a sua soma negativa (5).
Em geral, quando fatorizamos x2+bx+c, se c for positivo e b for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: Fatorizar x2x6

Podemos escrever x2x6 como x21x6.
Para fatorizar x21x6, primeiro temos que descobrir dois números que multiplicados dão 6 e que somados dão 1.
Esses dois números são 2 e 3, uma vez que, (2)(3)=6 e (2)+(3)=5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: (x+2) e (x+(3)).
A fatorização é a que se encontra abaixo:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Fatorização padrão: Observa que para fatorizar x2x6, precisamos de um número positivo (2) e de um número negativo (3). Isto deve-se ao facto do produto entre os números ter que ser negativo, no valor de (6).
Em geral, quando fatorizamos x2+bx+c, se c for negativo, então um dos fatores tem de ser positivo e o outro negativo.

Resumo

Em geral, para fatorizar um trinómio na forma x2+bx+c, precisamos de dois números cujo produto é c (fatores de c) e cuja soma é b.
Supõe que esses dois números são m e n, tal que, c=mn e b=m+n, então x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza x28x9.

4) Fatoriza x210x+24.

5) Fatoriza x2+7x30.

Por que é que isto funciona?

Para entender por que razão este método de fatorização funciona, vamos voltar ao exemplo original no qual fatorizámos x2+5x+6 em (x+2)(x+3).
Se lá voltarmos e multiplicarmos os dois fatores binomiais, podemos ver o efeito que o 2 e o 3 têm a formar o produto x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Vemos que o coeficiente do termo xé a soma de 2 e 3, e que o termo constante é o produto de 2 and 3.

A fórmula soma-produto

Vamos repetir o que acabámos de fazer com o (x+2)(x+3) para (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Para resumir este processo, obtemos a seguinte equação:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Estamos perante a fórmula soma-produto.
Mostra porque, uma vez expresso o trinómio x2+bx+c como x2+(m+n)x+mn (por encontrar dois números m e n tal que b=m+n e c=mn), podemos factorizá-lo como (x+m)(x+n).

Pergunta para reflexão

6) Este método de fatorização pode ser usado para fatorizar 2x2+3x+1?
Seleciona a opção correta.

Quando podemos usar este método para fatorizar?

Em geral, o método da soma-produto só é aplicável quando podemos realmente escrever um trinómio como (x+m)(x+n) para alguns inteiros m e n.
Isto significa que o termo principal do trinómio deve ser x2 (e não, por exemplo, 2x2) para se poder considerar este método. Isto deve-se ao produto de (x+m) e (x+n) ser sempre um polinómio com um termo principal de x2.
No entanto, nem todos os trinómios com um termo principal x2 podem ser fatorizados. Por exemplo, x2+2x+2 não pode ser fatorizado porque não há dois números inteiros cuja soma seja 2 e cujo produto seja 2.
Nas próximas lições vamos aprender mais formas de fatorizar mais tipos de polinómios.

Problemas desafio

7*) Fatoriza x2+5xy+6y2.

8*) Fatoriza x45x2+6.

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