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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 13
Lição 5: Fatorizar polinómios de 2.º grau - Introdução- Decomposição em fatores de expressões do 2º grau como (x+a)(x+b)
- Fatorizar polinómios de 2.º grau: coeficiente = 1
- Decomposição em fatores de expressões do 2º grau como (x+a)(x+b): exemplos
- Decompor expressões quadráticas
- Fatorizar polinómios de 2.º grau - Introdução
- Fatorizar polinómios de 2.º grau simples - Revisão
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Fatorizar polinómios de 2.º grau: coeficiente = 1
Aprender como fatorizar expressões quadráticas como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).
O que precisas saber para esta lição
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, inverter o processo de multiplicação de polinómios. Para saber mais sobre isso, lê o artigo anterior sobre Fatores comum em evidência.
O que vais aprender nesta lição
Nesta lição vais aprender como fatorizar um polinómio da forma como um produto de dois binómios.
Revisão: Multiplicar binómios
Vamos considerar a expressão x+2)(x+4).
Podemos encontrar o produto, aplicando a propriedade distributiva várias vezes.
Então temos que .
A partir daqui vemos que e são fatores de , mas como podemos encontrar estes factores se não começarmos com eles?
Fatorizar trinómios
Podemos inverter o processo de multiplicação binomial mostrado acima a fim de fatorizar um trinómio (que é um polinómio com termos).
Por outras palavras, se começarmos com o polinómio , podemos usar a fatorização para escrevê-lo como um produto de dois binómios, x+2)(x+4).
Vamos ver alguns exemplos para ver como isto é feito.
Exemplo 1: Fatorizar
Para fatorizar , primeiro precisamos encontrar dois números que multiplicados dão (número constante) e que adicionados dão (coeficiente de ).
Estes dois números são e uma vez que e .
Podemos então adicionar cada um destes números a para formar os dois fatores binomiais: e .
Em conclusão, fatorizámos o trinómio da seguinte forma:
Para verificar a fatorização, podemos multiplicar os dois binómios:
O produto de e é realmente . Nossa fatorização está correta!
Testa o teu conhecimento
Vamos ver mais alguns exemplos... e ver o que podemos aprender com eles.
Exemplo 2: Fatorizar
Para fatorizar , vamos descobrir primeiro dois números que multiplicados dão e que somados dão .
Esses dois números são e uma vez que e .
Podemos então adicionar cada um destes números a para formar os dois fatores binomiais: e .
A fatorização é a que se encontra abaixo:
Fatorização padrão: Repara que os números que são preciso fatorizar em são ambos negativos e . Isto deve-se ao facto do produto ser positivo e a sua soma negativa .
Em geral, quando fatorizamos , se for positivo e for negativo, então os dois fatores serão negativos!
Exemplo 3: Fatorizar
Podemos escrever como .
Para fatorizar , primeiro temos que descobrir dois números que multiplicados dão e que somados dão .
Esses dois números são e , uma vez que, e .
Podemos então adicionar cada um destes números a para formar os dois fatores binomiais: e .
A fatorização é a que se encontra abaixo:
Fatorização padrão: Observa que para fatorizar , precisamos de um número positivo e de um número negativo . Isto deve-se ao facto do produto entre os números ter que ser negativo, no valor de .
Em geral, quando fatorizamos , se for negativo, então um dos fatores tem de ser positivo e o outro negativo.
Resumo
Em geral, para fatorizar um trinómio na forma , precisamos de dois números cujo produto é (fatores de c) e cuja soma é .
Supõe que esses dois números são e , tal que, e , então .
Testa o teu conhecimento
Por que é que isto funciona?
Para entender por que razão este método de fatorização funciona, vamos voltar ao exemplo original no qual fatorizámos em .
Se lá voltarmos e multiplicarmos os dois fatores binomiais, podemos ver o efeito que o e o têm a formar o produto .
Vemos que o coeficiente do termo é a soma de e , e que o termo constante é o produto de and .
A fórmula soma-produto
Vamos repetir o que acabámos de fazer com o para :
Para resumir este processo, obtemos a seguinte equação:
Estamos perante a fórmula soma-produto.
Mostra porque, uma vez expresso o trinómio como (por encontrar dois números e tal que e ), podemos factorizá-lo como .
Pergunta para reflexão
Quando podemos usar este método para fatorizar?
Em geral, o método da soma-produto só é aplicável quando podemos realmente escrever um trinómio como para alguns inteiros e .
Isto significa que o termo principal do trinómio deve ser (e não, por exemplo, ) para se poder considerar este método. Isto deve-se ao produto de e ser sempre um polinómio com um termo principal de .
No entanto, nem todos os trinómios com um termo principal podem ser fatorizados. Por exemplo, não pode ser fatorizado porque não há dois números inteiros cuja soma seja e cujo produto seja .
Nas próximas lições vamos aprender mais formas de fatorizar mais tipos de polinómios.
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