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Fatorizar polinómios de 2.º grau: coeficiente = 1

Aprender como fatorizar expressões quadráticas como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, inverter o processo de multiplicação de polinómios. Para saber mais sobre isso, lê o artigo anterior sobre Fatores comum em evidência.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição vais aprender como fatorizar um polinómio da forma x, squared, plus, b, x, plus, c como um produto de dois binómios.

Revisão: Multiplicar binómios

Vamos considerar a expressão left parenthesisx+2)(x+4).
Podemos encontrar o produto, aplicando a propriedade distributiva várias vezes.
Então temos que left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
A partir daqui vemos que x, plus, 2 e x, plus, 4 são fatores de x, squared, plus, 6, x, plus, 8, mas como podemos encontrar estes factores se não começarmos com eles?

Fatorizar trinómios

Podemos inverter o processo de multiplicação binomial mostrado acima a fim de fatorizar um trinómio (que é um polinómio com 3 termos).
Por outras palavras, se começarmos com o polinómio x, squared, plus, 6, x, plus, 8, podemos usar a fatorização para escrevê-lo como um produto de dois binómios, left parenthesisx+2)(x+4).
Vamos ver alguns exemplos para ver como isto é feito.

Exemplo 1: Fatorizar x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Para fatorizar x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, primeiro precisamos encontrar dois números que multiplicados dão start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (número constante) e que adicionados dão start color #e07d10, 5, end color #e07d10 (coeficiente de x).
Estes dois números são start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, 3, end color #1fab54 uma vez que start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 e start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Em conclusão, fatorizámos o trinómio da seguinte forma:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Para verificar a fatorização, podemos multiplicar os dois binómios:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
O produto de x, plus, 2 e x, plus, 3 é realmente x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Nossa fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Vamos ver mais alguns exemplos... e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: Fatorizar x, squared, minus, 5, x, plus, 6

Para fatorizar x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, vamos descobrir primeiro dois números que multiplicados dão start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff e que somados dão start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Esses dois números são start color #11accd, minus, 2, end color #11accd e start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 uma vez que left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 e left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
A fatorização é a que se encontra abaixo:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Fatorização padrão: Repara que os números que são preciso fatorizar em x, squared, minus, 5, x, plus, 6 são ambos negativos left parenthesis, minus, 2 e minus, 3, right parenthesis. Isto deve-se ao facto do produto ser positivo left parenthesis, 6, right parenthesis e a sua soma negativa left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
Em geral, quando fatorizamos x, squared, plus, b, x, plus, c, se c for positivo e b for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: Fatorizar x, squared, minus, x, minus, 6

Podemos escrever x, squared, minus, x, minus, 6 como x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Para fatorizar x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, primeiro temos que descobrir dois números que multiplicados dão start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff e que somados dão start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Esses dois números são start color #11accd, minus, 2, end color #11accd e start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, uma vez que, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 e left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Podemos então adicionar cada um destes números a x para formar os dois fatores binomiais: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
A fatorização é a que se encontra abaixo:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Fatorização padrão: Observa que para fatorizar x, squared, minus, x, minus, 6, precisamos de um número positivo left parenthesis, 2, right parenthesis e de um número negativo left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Isto deve-se ao facto do produto entre os números ter que ser negativo, no valor de left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
Em geral, quando fatorizamos x, squared, plus, b, x, plus, c, se c for negativo, então um dos fatores tem de ser positivo e o outro negativo.

Resumo

Em geral, para fatorizar um trinómio na forma x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, precisamos de dois números cujo produto é start color #aa87ff, c, end color #aa87ff (fatores de c) e cuja soma é start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Supõe que esses dois números são m e n, tal que, c, equals, m, n e b, equals, m, plus, n, então x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Fatoriza x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Fatoriza x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

Por que é que isto funciona?

Para entender por que razão este método de fatorização funciona, vamos voltar ao exemplo original no qual fatorizámos x, squared, plus, 5, x, plus, 6 em left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Se lá voltarmos e multiplicarmos os dois fatores binomiais, podemos ver o efeito que o start color #11accd, 2, end color #11accd e o start color #1fab54, 3, end color #1fab54 têm a formar o produto x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Vemos que o coeficiente do termo xé a soma de start color #11accd, 2, end color #11accd e start color #1fab54, 3, end color #1fab54, e que o termo constante é o produto de start color #11accd, 2, end color #11accd and start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

A fórmula soma-produto

Vamos repetir o que acabámos de fazer com o left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis para left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Para resumir este processo, obtemos a seguinte equação:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Estamos perante a fórmula soma-produto.
Mostra porque, uma vez expresso o trinómio x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff como x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (por encontrar dois números start color #11accd, m, end color #11accd e start color #1fab54, n, end color #1fab54 tal que start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 e start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54), podemos factorizá-lo como left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Pergunta para reflexão

6) Este método de fatorização pode ser usado para fatorizar 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Quando podemos usar este método para fatorizar?

Em geral, o método da soma-produto só é aplicável quando podemos realmente escrever um trinómio como left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis para alguns inteiros m e n.
Isto significa que o termo principal do trinómio deve ser x, squared (e não, por exemplo, 2, x, squared) para se poder considerar este método. Isto deve-se ao produto de left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis e left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis ser sempre um polinómio com um termo principal de x, squared.
No entanto, nem todos os trinómios com um termo principal x, squared podem ser fatorizados. Por exemplo, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 não pode ser fatorizado porque não há dois números inteiros cuja soma seja 2 e cujo produto seja 2.
Nas próximas lições vamos aprender mais formas de fatorizar mais tipos de polinómios.

Problemas desafio

7*) Fatoriza x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Fatoriza x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.