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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 5: Fatorizar polinómios de 2.º grau - Introdução

Fatorizar polinómios de 2.º grau: coeficiente = 1

Aprender como fatorizar expressões quadráticas como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, inverter o processo de multiplicação de polinómios. Para saber mais sobre isso, lê o artigo anterior sobre Fatores comum em evidência.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição vais aprender como fatorizar um polinómio da forma

x^{2} + b x + c

como um produto de dois binómios.

Revisão: Multiplicar binómios

Vamos considerar a expressão

(

x+2)(x+4).

Podemos encontrar o produto, aplicando a propriedade distributiva várias vezes.

[Aqui está outra explicação de como multiplicar os dois binómios.]

Então temos que

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

A partir daqui vemos que

x + 2

x + 4

são fatores de

x^{2} + 6 x + 8

, mas como podemos encontrar estes factores se não começarmos com eles?

Fatorizar trinómios

Podemos inverter o processo de multiplicação binomial mostrado acima a fim de fatorizar um trinómio (que é um polinómio com

3

termos).

Por outras palavras, se começarmos com o polinómio

x^{2} + 6 x + 8

, podemos usar a fatorização para escrevê-lo como um produto de dois binómios,

(

x+2)(x+4).

Vamos ver alguns exemplos para ver como isto é feito.

Exemplo 1: Fatorizar $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Para fatorizar

x^{2} + 5 x + 6

, primeiro precisamos encontrar dois números que multiplicados dão

6

(número constante) e que adicionados dão

5

(coeficiente de

x

Estes dois números são

2

3

uma vez que

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então adicionar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + 3)

Em conclusão, fatorizámos o trinómio da seguinte forma:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Para verificar a fatorização, podemos multiplicar os dois binómios:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

O produto de

x + 2

x + 3

é realmente

x^{2} + 5 x + 6

. Nossa fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatoriza $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Vamos ver mais alguns exemplos... e ver o que podemos aprender com eles.

Exemplo 2: Fatorizar $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Para fatorizar

x^{2} - 5 x + 6

, vamos descobrir primeiro dois números que multiplicados dão

6

e que somados dão

- 5

Esses dois números são

- 2

- 3

uma vez que

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então adicionar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

A fatorização é a que se encontra abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Fatorização padrão: Repara que os números que são preciso fatorizar em

x^{2} - 5 x + 6

são ambos negativos

(- 2

- 3)

. Isto deve-se ao facto do produto ser positivo

(6)

e a sua soma negativa

(- 5)

Em geral, quando fatorizamos

x^{2} + b x + c

, se

c

for positivo e

b

for negativo, então os dois fatores serão negativos!

Exemplo 3: Fatorizar $x^{2} - x - 6$ ‍

Podemos escrever

x^{2} - x - 6

como

x^{2} - 1 x - 6

Para fatorizar

x^{2} - 1 x - 6

, primeiro temos que descobrir dois números que multiplicados dão

- 6

e que somados dão

- 1

Esses dois números são

- 2

- 3

, uma vez que,

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

[Como encontramos esses valores?]

Podemos então adicionar cada um destes números a

x

para formar os dois fatores binomiais:

(x + 2)

(x + (- 3))

A fatorização é a que se encontra abaixo:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Fatorização padrão: Observa que para fatorizar

x^{2} - x - 6

, precisamos de um número positivo

(2)

e de um número negativo

(- 3)

. Isto deve-se ao facto do produto entre os números ter que ser negativo, no valor de

(- 6)

Em geral, quando fatorizamos

x^{2} + b x + c

, se

c

for negativo, então um dos fatores tem de ser positivo e o outro negativo.

Resumo

Em geral, para fatorizar um trinómio na forma

x^{2} + b x + c

, precisamos de dois números cujo produto é

c

(fatores de c) e cuja soma é

b

Supõe que esses dois números são

m

n

, tal que,

c = m n

b = m + n

, então

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatoriza $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatoriza $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Por que é que isto funciona?

Para entender por que razão este método de fatorização funciona, vamos voltar ao exemplo original no qual fatorizámos

x^{2} + 5 x + 6

(x + 2) (x + 3)

Se lá voltarmos e multiplicarmos os dois fatores binomiais, podemos ver o efeito que o

2

e o

3

têm a formar o produto

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Vemos que o coeficiente do termo

x

é a soma de

2

3

, e que o termo constante é o produto de

2

and

3

A fórmula soma-produto

Vamos repetir o que acabámos de fazer com o

(x + 2) (x + 3)

para

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Para resumir este processo, obtemos a seguinte equação:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Estamos perante a fórmula soma-produto.

Mostra porque, uma vez expresso o trinómio

x^{2} + b x + c

como

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(por encontrar dois números

m

n

tal que

b = m + n

c = m \cdot n

), podemos factorizá-lo como

(x + m) (x + n)

Pergunta para reflexão

6) Este método de fatorização pode ser usado para fatorizar $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Quando podemos usar este método para fatorizar?

Em geral, o método da soma-produto só é aplicável quando podemos realmente escrever um trinómio como

(x + m) (x + n)

para alguns inteiros

m

n

Isto significa que o termo principal do trinómio deve ser

x^{2}

(e não, por exemplo,

2 x^{2}

) para se poder considerar este método. Isto deve-se ao produto de

(x + m)

(x + n)

ser sempre um polinómio com um termo principal de

x^{2}

No entanto, nem todos os trinómios com um termo principal

x^{2}

podem ser fatorizados. Por exemplo,

x^{2} + 2 x + 2

não pode ser fatorizado porque não há dois números inteiros cuja soma seja

2

e cujo produto seja

2

Nas próximas lições vamos aprender mais formas de fatorizar mais tipos de polinómios.

Problemas desafio

7*) Fatoriza $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

8*) Fatoriza $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

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O que precisas saber para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Revisão: Multiplicar binómios

Fatorizar trinómios

Exemplo 1: Fatorizar x2+5x+6‍

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: Fatorizar x2−5x+6‍

Exemplo 3: Fatorizar x2−x−6‍

Resumo

Testa o teu conhecimento

Por que é que isto funciona?

A fórmula soma-produto

Pergunta para reflexão

Quando podemos usar este método para fatorizar?

Problemas desafio

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Exemplo 1: Fatorizar $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Exemplo 2: Fatorizar $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Exemplo 3: Fatorizar $x^{2} - x - 6$ ‍