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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 6: Outro método de fatorizar polinómios do 2.º grau

Fatorizar polinómios de 2.º grau

Aprender como fatorizar expressões de 2.º grau como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, 2x² +7x +3 = (2x+1)(x+3).

O que precisas saber antes desta lição

O método de agrupamento pode ser usado para fatorizar polinómios com

4

termos, colocando várias vezes em evidência fatores comuns. Se isto é novo para ti, talvez seja melhor veres o artigo Introdução à fatorização pelo método de agrupamento.

Também recomendamos que analises o artigo fatorização de expressões quadráticas com coeficiente principal 1 antes de prosseguir.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, usaremos o método de agrupamento de expressões quadráticas (de 2.º grau) com um coeficiente principal diferente de

1

, como

2 x^{2} + 7 x + 3

Exemplo 1: Fatorizar $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Tendo em conta que o coeficiente principal

(2 x^{2} + 7 x + 3)

2

, não podemos usar o método soma-produto para fatorizar a expressão quadrática.

Em vez disso, para fatorizar

2 x^{2} + 7 x + 3

, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de

2 \times 3 = 6

(o coeficiente principal vezes o termo constante) e uma soma de

7

(o coeficiente de

x

Tendo em conta que

1 \times 6 = 6

1 + 6 = 7

, esses dois números são

1

6

[Como encontrar esses valores?]

Estes dois números dizem-nos como separar o termo de

x

da expressão original. Então podemos expressar o polinómio como

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Agora já podemos usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Agrupar termos \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Colocar x e 3 em evidência \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Fator comum! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Colocar em evidência 2 x + 1 \end{aligned}

A forma fatorizada é

(2 x + 1) (x + 3)

[E se agrupássemos o polinómio numa ordem diferente?]

Podemos verificar o que fizemos e ao multiplicar voltamos a

2 x^{2} + 7 x + 3

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Resumo

Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorizar uma expressão quadrática (de 2.º grau) da forma

a x^{2} + b x + c

Começar por encontrar dois números que ao multiplicar-se dão $a c$ ‍ e adicionados dão $b$ ‍.
Usar esses números para separar o termo em $x$ ‍.
Usar o método de agrupamento para fatorizar a expressão quadrática.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatoriza $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 2: Fatorizar $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

Para fatorizar

6 x^{2} - 5 x - 4

, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de

6 \times (- 4) = - 24

e uma soma de

- 5

Tendo em conta que

3 \times (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

, esses dois números são

3

- 8

[Como encontrar esses valores?]

Podemos agora escrever o termo

- 5 x

como a soma de

3 x

- 8 x

e usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Agrupar termos \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Colocar em evidência os MFC da 1ª e da 2ª parcelas \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Simplificar \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Fator comum! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Colocar em evidência 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

A forma fatorizada é

(2 x + 1) (3 x - 4)

Podemos verificar o que fizemos, mostrando que ao multiplicar voltamos a

6 x^{2} - 5 x - 4

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Toma nota: No passo

(1)

acima, repara que, de forma a manter a expressão equivalente à original, introduziu-se um "+" entre os grupos porque o terceiro termo é negativo. Igualmente, no passo

(2)

, foi preciso colocar em evidência um fator negativo do segundo grupo para se descobrir o fator comum de

2 x + 1

. Tem cuidado com os sinais!

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

4) Fatoriza $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatoriza $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Quando é que esta estratégia é útil?

Bem, claramente, esta estratégia é útil para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau) na forma

a x^{2} + b x + c

, mesmo quando

a \neq 1

No entanto, nem sempre é possível usar esta estratégia para fatorizar uma expressão quadrática desta forma.

Por exemplo, vamos ver a expressão

2 x^{2} + 2 x + 1

. Para a fatorizar, é preciso encontrar dois inteiros com um produto de

2 \times 1 = 2

e uma soma de

2

. Verás que, após várias tentativas, não existem esses dois números inteiros.

Portanto, a estratégia não funciona para

2 x^{2} + 2 x + 1

e para muitas outras expressões quadráticas.

É útil lembrar que, se esta estratégia não funcionar, significa que a expressão não pode ser fatorizada como

(A x + B) (C x + D)

onde

A

B

C

D

são números inteiros.

Porque é que esta estratégia funciona?

Vamos dar um mergulho profundo e perceber por que é que esta estratégia é tão bem sucedida. Teremos de usar muitas letras, mas por favor, tem paciência e fica connosco!

Supõe que a expressão quadrática geral

a x^{2} + b x + c

pode ser fatorizada como

(A x + B) (C x + D)

com números inteiros

A

B

C

D

Quando desenvolvemos a expressão, com a propriedade distributiva, obtemos a expressão quadrática

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Quero ver o desenvolvimento da expressão!]

Uma vez que a expressão é equivalente a

a x^{2} + b x + c

, os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto dá-nos a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Agora, vamos definir

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

De acordo com esta definição...

m + n = B C + A D = b

m \times n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \times c

E assim

B C

A D

são os dois números inteiros que estamos sempre a procurar quando estamos a usar esta estratégia de fatorização!

O próximo passo do método, depois de encontrar o

m

n

, é separar o coeficiente de

x

(b)

, de acordo com

m

n

e fatorizar usando o método de agrupamento.

Com efeito, se separarmos o termo com

x

(B C + A D) x

, em

(B C) x + (A D) x

, vamos ser capazes de usar o método do agrupamento para fatorizar a nossa expressão de volta a

(A x + B) (C x + D)

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Em conclusão, nesta seção...

Começámos com a expressão expandida geral $a x^{2} + b x + c$ ‍ e sua fatorização geral $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
Fomos capazes de encontrar dois números, $m$ ‍ e $n$ ‍, tal que $m n = a c$ ‍ e $m + n = b$ ‍ $($ ‍fizemos isso definindo $m = B C$ ‍ e $n = A D)$ ‍,
Separámos o $b x$ ‍ do termo em $x$ ‍ para $m x + n x$ ‍ e fomos capazes de fatorizar a expressão para $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Este processo mostra por que razão, se uma expressão pode realmente ser fatorizada como

(A x + B) (C x + D)

, este método garante que encontramos essa fatorização.

Obrigado por teres sobrevivido!

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Exemplo 1: Fatorizar 2x2+7x+3‍

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Exemplo 2: Fatorizar $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍