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Fatorizar polinómios de 2.º grau

Aprender como fatorizar expressões de 2.º grau como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, 2x² +7x +3 = (2x+1)(x+3).

O que precisas saber antes desta lição

O método de agrupamento pode ser usado para fatorizar polinómios com 4 termos, colocando várias vezes em evidência fatores comuns. Se isto é novo para ti, talvez seja melhor veres o artigo Introdução à fatorização pelo método de agrupamento.
Também recomendamos que analises o artigo fatorização de expressões quadráticas com coeficiente principal 1 antes de prosseguir.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, usaremos o método de agrupamento de expressões quadráticas (de 2.º grau) com um coeficiente principal diferente de 1, como 2x2+7x+3.

Exemplo 1: Fatorizar 2x2+7x+3

Tendo em conta que o coeficiente principal (2x2+7x+3) é 2, não podemos usar o método soma-produto para fatorizar a expressão quadrática.
Em vez disso, para fatorizar 2x2+7x+3, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de 2×3=6 (o coeficiente principal vezes o termo constante) e uma soma de 7 (o coeficiente de x).
Tendo em conta que 1×6=6 e 1+6=7, esses dois números são 1 e 6.
Estes dois números dizem-nos como separar o termo de x da expressão original. Então podemos expressar o polinómio como 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Agora já podemos usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Agrupar termos=x(2x+1)+3(2x+1)Colocar x e 3 em evidência=x(2x+1)+3(2x+1)Fator comum!=(2x+1)(x+3)Colocar em evidência 2x+1
A forma fatorizada é (2x+1)(x+3).
Podemos verificar o que fizemos e ao multiplicar voltamos a 2x2+7x+3.

Resumo

Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorizar uma expressão quadrática (de 2.º grau) da forma ax2+bx+c:
  1. Começar por encontrar dois números que ao multiplicar-se dão ac e adicionados dão b.
  2. Usar esses números para separar o termo em x.
  3. Usar o método de agrupamento para fatorizar a expressão quadrática.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 3x2+10x+8.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 4x2+16x+15.

Exemplo 2: Fatorizar 6x25x4

Para fatorizar 6x25x4, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de 6×(4)=24 e uma soma de 5.
Tendo em conta que 3×(8)=24 e 3+(8)=5, esses dois números são 3 e 8.
Podemos agora escrever o termo 5x como a soma de 3x e 8x e usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Agrupar termos(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Colocar em evidência os MFC da 1ª e da 2ª parcelas(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Simplificar(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Fator comum!(5)=(2x+1)(3x4)Colocar em evidência 2x+1
A forma fatorizada é (2x+1)(3x4).
Podemos verificar o que fizemos, mostrando que ao multiplicar voltamos a 6x25x4.
Toma nota: No passo (1) acima, repara que, de forma a manter a expressão equivalente à original, introduziu-se um "+" entre os grupos porque o terceiro termo é negativo. Igualmente, no passo (2), foi preciso colocar em evidência um fator negativo do segundo grupo para se descobrir o fator comum de 2x+1. Tem cuidado com os sinais!

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza 2x23x9.
Seleciona a opção correta.

4) Fatoriza 3x22x5.

5) Fatoriza 6x213x+6.

Quando é que esta estratégia é útil?

Bem, claramente, esta estratégia é útil para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau) na forma ax2+bx+c, mesmo quando a1.
No entanto, nem sempre é possível usar esta estratégia para fatorizar uma expressão quadrática desta forma.
Por exemplo, vamos ver a expressão 2x2+2x+1. Para a fatorizar, é preciso encontrar dois inteiros com um produto de 2×1=2 e uma soma de 2. Verás que, após várias tentativas, não existem esses dois números inteiros.
Portanto, a estratégia não funciona para 2x2+2x+1 e para muitas outras expressões quadráticas.
É útil lembrar que, se esta estratégia não funcionar, significa que a expressão não pode ser fatorizada como (Ax+B)(Cx+D) onde A, B, C e D são números inteiros.

Porque é que esta estratégia funciona?

Vamos dar um mergulho profundo e perceber por que é que esta estratégia é tão bem sucedida. Teremos de usar muitas letras, mas por favor, tem paciência e fica connosco!
Supõe que a expressão quadrática geral ax2+bx+c pode ser fatorizada como (Ax+B)(Cx+D) com números inteiros A, B, C e D.
Quando desenvolvemos a expressão, com a propriedade distributiva, obtemos a expressão quadrática (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Uma vez que a expressão é equivalente a ax2+bx+c, os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto dá-nos a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Agora, vamos definir m=BC e n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
De acordo com esta definição...
m+n=BC+AD=b
e
m×n=(BC)(AD)=(AC)(BD)=a×c
E assim BC e AD são os dois números inteiros que estamos sempre a procurar quando estamos a usar esta estratégia de fatorização!
O próximo passo do método, depois de encontrar o m e n, é separar o coeficiente de x, (b), de acordo com m e n e fatorizar usando o método de agrupamento.
Com efeito, se separarmos o termo com x, (BC+AD)x, em (BC)x+(AD)x, vamos ser capazes de usar o método do agrupamento para fatorizar a nossa expressão de volta a (Ax+B)(Cx+D).
Em conclusão, nesta seção...
  • Começámos com a expressão expandida geral ax2+bx+c e sua fatorização geral (Ax+B)(Cx+D),
  • Fomos capazes de encontrar dois números, m e n, tal que mn=ac e m+n=b (fizemos isso definindo m=BC e n=AD),
  • Separámos o bx do termo em x para mx+nx e fomos capazes de fatorizar a expressão para (Ax+B)(Cx+D).
Este processo mostra por que razão, se uma expressão pode realmente ser fatorizada como (Ax+B)(Cx+D), este método garante que encontramos essa fatorização.
Obrigado por teres sobrevivido!

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