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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 13
Lição 6: Outro método de fatorizar polinómios do 2.º grau- Decompor por agrupamento e decompor completamente
- Outro método para fatorizar expressões de 2.º grau
- Outro método de fatorizar polinómios do 2.º grau
- Fatorizar polinómios de 2.º grau
- Fatorização de expressões de 2.º grau
- Exemplo 5: decompor por agrupamento
- Exemplo 6: decompor por agrupamento
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Fatorizar polinómios de 2.º grau
Aprender como fatorizar expressões de 2.º grau como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, 2x² +7x +3 = (2x+1)(x+3).
O que precisas saber antes desta lição
O método de agrupamento pode ser usado para fatorizar polinómios com termos, colocando várias vezes em evidência fatores comuns. Se isto é novo para ti, talvez seja melhor veres o artigo Introdução à fatorização pelo método de agrupamento.
Também recomendamos que analises o artigo fatorização de expressões quadráticas com coeficiente principal 1 antes de prosseguir.
O que vais aprender nesta lição
Neste artigo, usaremos o método de agrupamento de expressões quadráticas (de 2.º grau) com um coeficiente principal diferente de , como .
Exemplo 1: Fatorizar
Tendo em conta que o coeficiente principal é , não podemos usar o método soma-produto para fatorizar a expressão quadrática.
Em vez disso, para fatorizar , precisamos encontrar dois inteiros com um produto de (o coeficiente principal vezes o termo constante) e uma soma de (o coeficiente de ).
Tendo em conta que e , esses dois números são e .
Estes dois números dizem-nos como separar o termo de da expressão original. Então podemos expressar o polinómio como
.
Agora já podemos usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
A forma fatorizada é .
Podemos verificar o que fizemos e ao multiplicar voltamos a .
Resumo
Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorizar uma expressão quadrática (de 2.º grau) da forma :
- Começar por encontrar dois números que ao multiplicar-se dão
e adicionados dão . - Usar esses números para separar o termo em
. - Usar o método de agrupamento para fatorizar a expressão quadrática.
Testa o teu conhecimento
Exemplo 2: Fatorizar
Para fatorizar , precisamos encontrar dois inteiros com um produto de e uma soma de .
Tendo em conta que e , esses dois números são e .
Podemos agora escrever o termo como a soma de e e usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
A forma fatorizada é .
Podemos verificar o que fizemos, mostrando que ao multiplicar voltamos a .
Toma nota: No passo acima, repara que, de forma a manter a expressão equivalente à original, introduziu-se um "+" entre os grupos porque o terceiro termo é negativo. Igualmente, no passo , foi preciso colocar em evidência um fator negativo do segundo grupo para se descobrir o fator comum de . Tem cuidado com os sinais!
Testa o teu conhecimento
Quando é que esta estratégia é útil?
Bem, claramente, esta estratégia é útil para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau) na forma , mesmo quando .
No entanto, nem sempre é possível usar esta estratégia para fatorizar uma expressão quadrática desta forma.
Por exemplo, vamos ver a expressão . Para a fatorizar, é preciso encontrar dois inteiros com um produto de e uma soma de . Verás que, após várias tentativas, não existem esses dois números inteiros.
Portanto, a estratégia não funciona para e para muitas outras expressões quadráticas.
É útil lembrar que, se esta estratégia não funcionar, significa que a expressão não pode ser fatorizada como onde , , e são números inteiros.
Porque é que esta estratégia funciona?
Vamos dar um mergulho profundo e perceber por que é que esta estratégia é tão bem sucedida. Teremos de usar muitas letras, mas por favor, tem paciência e fica connosco!
Supõe que a expressão quadrática geral pode ser fatorizada como com números inteiros , , e .
Quando desenvolvemos a expressão, com a propriedade distributiva, obtemos a expressão quadrática .
Uma vez que a expressão é equivalente a , os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto dá-nos a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:
Agora, vamos definir e .
De acordo com esta definição...
e
E assim e são os dois números inteiros que estamos sempre a procurar quando estamos a usar esta estratégia de fatorização!
O próximo passo do método, depois de encontrar o e , é separar o coeficiente de , , de acordo com e e fatorizar usando o método de agrupamento.
Com efeito, se separarmos o termo com , , em , vamos ser capazes de usar o método do agrupamento para fatorizar a nossa expressão de volta a .
Em conclusão, nesta seção...
- Começámos com a expressão expandida geral
e sua fatorização geral , - Fomos capazes de encontrar dois números,
e , tal que e fizemos isso definindo e , - Separámos o
do termo em para e fomos capazes de fatorizar a expressão para .
Este processo mostra por que razão, se uma expressão pode realmente ser fatorizada como , este método garante que encontramos essa fatorização.
Obrigado por teres sobrevivido!
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