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Outro método para fatorizar expressões de 2.º grau

Aprender mais sobre um outro método de fatorizar. Por exemplo, podemos utilizá-lo para escrever 2x² + 8x + 3x + 12 como (2x+3)(x+4).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.
Temos visto vários exemplos de fatorização já. No entanto, neste artigo, deves estar principalmente familiarizado com colocar fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 6x2+4x=2x(3x+2).

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vamos aprender a fatorizar usando um método para agrupar termos.

Exemplo 1: Fatorizar 2x2+8x+3x+12

Primeiro, repara que não há nenhum fator comum a todos os termos em 2x2+8x+3x+12. No entanto, se agruparmos os termos dois a dois, ficamos com dois polinómios cujos termos têm fatores em comum. O maior fator comum de um polinómio, ou MFC, é a maior expressão que divide todos os seus termos.
Em particular, podemos identificar fatores comuns de 2x no primeiro grupo e de 3 no segundo grupo. Podemos colocar estes fatores em evidência de forma a obter a seguinte expressão:
2x(x+4)+3(x+4)
Repara que isto revela ainda um outro fator comum entre os dois termos: x+4. Podemos usar a propriedade distributiva para colocar este fator comum em evidência.
Uma vez que o polinómio é agora expresso como um produto de dois binómios, está na forma fatorizada. Podemos verificar, multiplicando e comparando a expressão com a do polinómio original.

Exemplo 2: Fatorizar 3x2+6x+4x+8

Vamos resumir o que foi feito acima fatorizando outro polinómio.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Agrupar termos=3x(x+2)+4(x+2)Colocar 3x e 4 em evidência=3x(x+2)+4(x+2)Fator comum!=(x+2)(3x+4)Colocar em evidência (x+2)
A forma fatorizada é (x+2)(3x+4).

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 9x2+6x+12x+8.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 5x2+10x+2x+4.

3) Fatoriza 8x2+6x+4x+3.

Exemplo 3: Fatoriza 3x26x4x+8

É preciso cuidado extra ao usar o método de agrupamento para fatorizar um polinómio com coeficientes negativos.
Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorizar 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Agrupar termos(2)=3x(x2)+(4)(x2)Colocar os MFC em evidência(3)=3x(x2)4(x2)Simplify(4)=3x(x2)4(x2)Fator comum!(5)=(x2)(3x4)Colocar x2 em evidência
A forma fatorizada do polinómio é (x-2)(3x-4). Podemos multiplicar os binómios para verificar a resposta.
Alguns dos passos acima podem parecer diferentes do que viste no primeiro exemplo, por isso és capaz de ter algumas perguntas.
De onde veio o sinal "+" entre os dois grupos?
No passo 1 (1), foi adicionado um sinal "+" entre os grupos (3x26x) e (4x+8). Isto deve-se ao facto do terceiro grupo ser negativo, (4x), e o sinal do termo ter de ser incluído no grupo.
Manter o sinal de subtração fora do segundo grupo é complicado. Por exemplo, um erro comum é agrupar3x26x4x+8 como (3x26x)(4x+8). No entanto, este grupo, simplifica-se para 3x26x4x8, que não é igual à expressão original.
Colocar 4 em evidência em vez de 4, porquê?
No passo (2), colocámos 4 em evidência para revelar um fator comum de (x2) entre os termos. Se em vez disso tivessemos colocado um 4 positivo , não teríamos obtido o fator binomial comum que vimos em cima:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Quando o termo principal de um grupo é negativo, vai ser necessário colocar em evidência um fator comum negativo.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 2x23x4x+6.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 3x2+3x10x10.

6) Fatoriza 3x2+6xx2.

Problema desafio

7*) Fatoriza 2x3+10x2+3x+15.

Quando é que podemos usar o método de agrupar?

O método de agrupar pode ser usado para fatorizar polinómios sempre que existir um fator comum entre os agrupamentos.
Por exemplo, podemos usar o método de agrupar para fatorizar 3x2+9x+2x+6 uma vez que pode ser escrito da seguinte forma:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Não podemos, no entanto, usar o método de agrupar para fatorizar 2x2+3x+4x+12 porque colocar os MFC em evidência nos dois agrupamentos não origina um fator comum!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Agrupar para fatorizar expressões com três termos

Também podemos agrupar para fatorizar certas expressões quadráticas de três termos, como por exemplo 2x2+7x+3. Isto deve-se a podermos reescrever a expressão da seguinte forma:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Podemos então agrupar para fatorizar 2x2+1x+6x+3 como (x+3)(2x+1).
Para saber mais sobre fatorizar expressões quadráticas como estas, usando o método de agrupar, vê o nosso próxim artigo.

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