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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 6: Outro método de fatorizar polinómios do 2.º grau

Outro método para fatorizar expressões de 2.º grau

Aprender mais sobre um outro método de fatorizar. Por exemplo, podemos utilizá-lo para escrever 2x² + 8x + 3x + 12 como (2x+3)(x+4).

O que precisas saber para esta lição

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.

Temos visto vários exemplos de fatorização já. No entanto, neste artigo, deves estar principalmente familiarizado com colocar fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva. Por exemplo,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, vamos aprender a fatorizar usando um método para agrupar termos.

Exemplo 1: Fatorizar $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Primeiro, repara que não há nenhum fator comum a todos os termos em

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

. No entanto, se agruparmos os termos dois a dois, ficamos com dois polinómios cujos termos têm fatores em comum. O maior fator comum de um polinómio, ou MFC, é a maior expressão que divide todos os seus termos.

Em particular, podemos identificar fatores comuns de

2 x

no primeiro grupo e de

3

no segundo grupo. Podemos colocar estes fatores em evidência de forma a obter a seguinte expressão:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

[Como é que fizemos isto?]

Repara que isto revela ainda um outro fator comum entre os dois termos:

x + 4

. Podemos usar a propriedade distributiva para colocar este fator comum em evidência.

Uma vez que o polinómio é agora expresso como um produto de dois binómios, está na forma fatorizada. Podemos verificar, multiplicando e comparando a expressão com a do polinómio original.

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Exemplo 2: Fatorizar $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Vamos resumir o que foi feito acima fatorizando outro polinómio.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Agrupar termos \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Colocar 3 x e 4 em evidência \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Fator comum! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Colocar em evidência (x + 2) \end{aligned}

A forma fatorizada é

(x + 2) (3 x + 4)

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

2) Fatoriza $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

3) Fatoriza $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Exemplo 3: Fatoriza $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

É preciso cuidado extra ao usar o método de agrupamento para fatorizar um polinómio com coeficientes negativos.

Por exemplo, os passos abaixo podem ser usados para fatorizar

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Agrupar termos \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Colocar os MFC em evidência \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Simplify \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Fator comum! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Colocar x - 2 em evidência \end{aligned}

A forma fatorizada do polinómio é

(x-2)(3x-4). Podemos multiplicar os binómios para verificar a resposta.

[Gostava de ver a verificação, por favor!]

Alguns dos passos acima podem parecer diferentes do que viste no primeiro exemplo, por isso és capaz de ter algumas perguntas.

De onde veio o sinal "+" entre os dois grupos?

No passo 1

(1)

, foi adicionado um sinal "+" entre os grupos

(3 x^{2} - 6 x)

(- 4 x + 8)

. Isto deve-se ao facto do terceiro grupo ser negativo,

(- 4 x)

, e o sinal do termo ter de ser incluído no grupo.

Manter o sinal de subtração fora do segundo grupo é complicado. Por exemplo, um erro comum é agrupar

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

como

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. No entanto, este grupo, simplifica-se para

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, que não é igual à expressão original.

[Posso ver isso?]

Colocar $- 4$ ‍ em evidência em vez de $4$ ‍, porquê?

No passo

(2)

, colocámos

- 4

em evidência para revelar um fator comum de

(x - 2)

entre os termos. Se em vez disso tivessemos colocado um

4

positivo , não teríamos obtido o fator binomial comum que vimos em cima:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Quando o termo principal de um grupo é negativo, vai ser necessário colocar em evidência um fator comum negativo.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

5) Fatoriza $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

6) Fatoriza $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Problema desafio

7*) Fatoriza $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Quando é que podemos usar o método de agrupar?

O método de agrupar pode ser usado para fatorizar polinómios sempre que existir um fator comum entre os agrupamentos.

Por exemplo, podemos usar o método de agrupar para fatorizar

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

uma vez que pode ser escrito da seguinte forma:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Não podemos, no entanto, usar o método de agrupar para fatorizar

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

porque colocar os MFC em evidência nos dois agrupamentos não origina um fator comum!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Agrupar para fatorizar expressões com três termos

Também podemos agrupar para fatorizar certas expressões quadráticas de três termos, como por exemplo

2 x^{2} + 7 x + 3

. Isto deve-se a podermos reescrever a expressão da seguinte forma:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Podemos então agrupar para fatorizar

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

como

(x + 3) (2 x + 1)

Para saber mais sobre fatorizar expressões quadráticas como estas, usando o método de agrupar, vê o nosso próxim artigo.

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O que precisas saber para esta lição

O que vais aprender nesta lição

Exemplo 1: Fatorizar 2x2+8x+3x+12‍

Exemplo 2: Fatorizar 3x2+6x+4x+8‍

Testa o teu conhecimento

Exemplo 3: Fatoriza 3x2−6x−4x+8‍

Testa o teu conhecimento

Problema desafio

Quando é que podemos usar o método de agrupar?

Agrupar para fatorizar expressões com três termos

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Exemplo 1: Fatorizar $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Exemplo 2: Fatorizar $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Exemplo 3: Fatoriza $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍