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Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio

Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que está na forma de "casos notáveis". Por exemplo, escrever x² + 6x + 9 como (x + 3)².
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, trata-se de inverter o processo de multiplicação do polinómio.
Neste artigo, vamos aprender a fatorizar trinómios que são casos notáveis usando fórmulas especiais. Isto inverte o processo de quadrado de um binómio, então talvez seja melhor compreenderes completamente isso antes de prosseguir.

Introdução: Fatorização de casos notáveis

Para desenvolver qualquer binómio ao quadrado, podemos aplicar um dos seguintes padrões ou fórmulas.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, supõe que queremos desenvolver (x+5)2. Neste caso, a=x e b=5, logo temos:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Podes verificar esta fórmula, aplicando a multiplicação para desenvolver a expressão (x+5)2.
O inverso deste processo é uma forma de fatorização. Se nós reescrevermos as equações na ordem inversa, encontramos um padrão para fatorizar polinómios da forma a2±2ab+b2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
Podemos aplicar o primeiro padrão para fatorizar x2+10x+25. Aqui temos a=x e b=5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Expressões desta forma são chamados casos notáveis da multiplicação. O nome reflete o facto deste tipo de polinómio com três termos ser considerado especial!
Vamos ver alguns exemplos em que podemos fatorizar casos notáveis usando este padrão.

Exemplo 1: Fatorizar x2+8x+16

Observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: x2=(x)2 e 16=(4)2. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2(x)(4)=8x.
Isto indica-nos que o polinómio é um caso notável, e então podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
Neste caso, a=x e b=4. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão (x+4)2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x2+6x+9.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x26x+9.
Seleciona a opção correta.

3) Fatoriza x2+14x+49.

Exemplo 2: Fatorizar 4x2+12x+9

Não é necessário que o coeficiente principal de um caso notável seja 1.
Por exemplo, em 4x2+12x+9, observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: 4x2=(2x)2 e 9=(3)2. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2(2x)(3)=12x.
Como satisfaz as condições acima, 4x2+12x+9 também é um caso notável. Portanto, podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
Neste caso, a=2x e b=3. Logo, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão (2x+3)2.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 9x2+30x+25.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 4x220x+25.

Problemas desafio

6*) Fatoriza x4+2x2+1.

7*) Fatoriza 9x2+24xy+16y2.

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