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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 8: Factorizar expressões de 2.º grau: quadrados de somas e diferenças
Matemática
Álgebra 1
Expressões quadráticas: multiplicação e fatorização
Factorizar expressões de 2.º grau: quadrados de somas e diferenças
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Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio

Google Classroom
Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que está na forma de "casos notáveis". Por exemplo, escrever x² + 6x + 9 como (x + 3)².
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, trata-se de inverter o processo de multiplicação do polinómio.
Neste artigo, vamos aprender a fatorizar trinómios que são casos notáveis usando fórmulas especiais. Isto inverte o processo de quadrado de um binómio, então talvez seja melhor compreenderes completamente isso antes de prosseguir.

Introdução: Fatorização de casos notáveis

Para desenvolver qualquer binómio ao quadrado, podemos aplicar um dos seguintes padrões ou fórmulas.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, supõe que queremos desenvolver left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, logo temos:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Podes verificar esta fórmula, aplicando a multiplicação para desenvolver a expressão left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
O inverso deste processo é uma forma de fatorização. Se nós reescrevermos as equações na ordem inversa, encontramos um padrão para fatorizar polinómios da forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Podemos aplicar o primeiro padrão para fatorizar x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aqui temos start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Expressões desta forma são chamados casos notáveis da multiplicação. O nome reflete o facto deste tipo de polinómio com três termos ser considerado especial!
Vamos ver alguns exemplos em que podemos fatorizar casos notáveis usando este padrão.

Exemplo 1: Fatorizar x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Isto indica-nos que o polinómio é um caso notável, e então podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Seleciona a opção correta.

3) Fatoriza x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Exemplo 2: Fatorizar 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Não é necessário que o coeficiente principal de um caso notável seja 1.
Por exemplo, em 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Como satisfaz as condições acima, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 também é um caso notável. Portanto, podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Logo, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Problemas desafio

6*) Fatoriza x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Fatoriza 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

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