Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, trata-se de inverter o processo de multiplicação do polinómio.

Neste artigo, vamos aprender a fatorizar trinómios que são casos notáveis usando fórmulas especiais. Isto inverte o processo de quadrado de um binómio, então talvez seja melhor compreenderes completamente isso antes de prosseguir.

Para desenvolver qualquer binómio ao quadrado, podemos aplicar um dos seguintes padrões ou fórmulas.

Repara que $a$‍ e $b$‍ podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, supõe que queremos desenvolver $(x+5{)}^2$‍. Neste caso, $a=x$‍ e $b=5$‍, logo temos:

Podes verificar esta fórmula, aplicando a multiplicação para desenvolver a expressão $(x+5{)}^2$‍.

O inverso deste processo é uma forma de fatorização. Se nós reescrevermos as equações na ordem inversa, encontramos um padrão para fatorizar polinómios da forma $a^2\pm 2ab+b^2$‍.

Podemos aplicar o primeiro padrão para fatorizar $x^2+10x+25$‍. Aqui temos $a=x$‍ e $b=5$‍.

Expressões desta forma são chamados casos notáveis da multiplicação. O nome reflete o facto deste tipo de polinómio com três termos ser considerado especial!

Vamos ver alguns exemplos em que podemos fatorizar casos notáveis usando este padrão.

Observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: $x^2=(x{)}^2$‍ e $16=(4{)}^2$‍. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: $2(x)(4)=8x$‍.

Isto indica-nos que o polinómio é um caso notável, e então podemos usar o seguinte padrão de fatorização.

Neste caso, $a=x$‍ e $b=4$‍. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:

Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão $(x+4{)}^2$‍:

Não é necessário que o coeficiente principal de um caso notável seja $1$‍.

Por exemplo, em $4x^2+12x+9$‍, observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: $4x^2=(2x{)}^2$‍ e $9=(3{)}^2$‍. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: $2(2x)(3)=12x$‍.

Como satisfaz as condições acima, $4x^2+12x+9$‍ também é um caso notável. Portanto, podemos usar o seguinte padrão de fatorização.

Neste caso, $a=2x$‍ e $b=3$‍. Logo, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:

Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão $(2x+3{)}^2$‍.