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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 13
Lição 8: Factorizar expressões de 2.º grau: quadrados de somas e diferenças- Introdução à fatorização do quadrado de binómios
- Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio
- O quadrado de binómios (Introdução)
- Fatorização de casos notáveis
- A soma de quadrados e a fatorização de polinómios
- Fatorizar quadrado de um binómio: fator comum negativo
- Fatorizar quadrado de um binómio: valores em falta
- Fatorização de quadrados de binómios: fatores partilhados
- O quadrado de binómios
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Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio
Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que está na forma de "casos notáveis". Por exemplo, escrever x² + 6x + 9 como (x + 3)².
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, trata-se de inverter o processo de multiplicação do polinómio.
Neste artigo, vamos aprender a fatorizar trinómios que são casos notáveis usando fórmulas especiais. Isto inverte o processo de quadrado de um binómio, então talvez seja melhor compreenderes completamente isso antes de prosseguir.
Introdução: Fatorização de casos notáveis
Para desenvolver qualquer binómio ao quadrado, podemos aplicar um dos seguintes padrões ou fórmulas.
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
- left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, supõe que queremos desenvolver left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, logo temos:
Podes verificar esta fórmula, aplicando a multiplicação para desenvolver a expressão left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
O inverso deste processo é uma forma de fatorização. Se nós reescrevermos as equações na ordem inversa, encontramos um padrão para fatorizar polinómios da forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
- start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Podemos aplicar o primeiro padrão para fatorizar x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aqui temos start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
Expressões desta forma são chamados casos notáveis da multiplicação. O nome reflete o facto deste tipo de polinómio com três termos ser considerado especial!
Vamos ver alguns exemplos em que podemos fatorizar casos notáveis usando este padrão.
Exemplo 1: Fatorizar x, squared, plus, 8, x, plus, 16
Observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Isto indica-nos que o polinómio é um caso notável, e então podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
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Exemplo 2: Fatorizar 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9
Não é necessário que o coeficiente principal de um caso notável seja 1.
Por exemplo, em 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observa que tanto o primeiro como o último termos podem ser escritos como expressões ao quadrado: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Como satisfaz as condições acima, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 também é um caso notável. Portanto, podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Logo, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.
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