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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 13

Lição 7: Factorizar expressões de 2.º grau: diferença de quadrados

Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados

Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que estão na forma de "diferença de quadrados". Por exemplo, escrever x²-16 as (x+4)(x-4).

Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.

Neste artigo, vamos aprender como usar a diferença de quadrados para fatorizar certos polinómios. Se não sabes o que é uma diferença de quadrados, por favor, vê este video antes de prosseguir.

Introdução: diferença de quadrados

Qualquer polinómio que seja uma diferença de quadrados pode ser fatorizado aplicando a seguinte fórmula:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Repara que

a

b

podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para

a = x

and

b = 2

, temos a expressão seguinte:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

O polinómio

x^{2} - 4

é agora expresso na forma fatorizada,

(x + 2) (x - 2)

. Podemos desenvolver o lado direito desta equação para justificar a fatorização:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorizar mais alguns polinómios.

Exemplo 1: Factorizar $x^{2} - 16$ ‍

x^{2}

16

são ambos quadrados, uma vez que

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Por outras palavras:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Tendo em conta que estamos a subtrair um quadrado a outro, podemos ver que que este polinómio representa uma diferença de quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar esta expressão: