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Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados

Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que estão na forma de "diferença de quadrados". Por exemplo, escrever x²-16 as (x+4)(x-4).
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.
Neste artigo, vamos aprender como usar a diferença de quadrados para fatorizar certos polinómios. Se não sabes o que é uma diferença de quadrados, por favor, vê este video antes de prosseguir.

Introdução: diferença de quadrados

Qualquer polinómio que seja uma diferença de quadrados pode ser fatorizado aplicando a seguinte fórmula:
a2b2=(a+b)(ab)
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para a=x and b=2, temos a expressão seguinte:
x222=(x+2)(x2)
O polinómio x24 é agora expresso na forma fatorizada, (x+2)(x2). Podemos desenvolver o lado direito desta equação para justificar a fatorização:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24
Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorizar mais alguns polinómios.

Exemplo 1: Factorizar x216

x2 e 16 são ambos quadrados, uma vez que x2=(x)2 e 16=(4)2. Por outras palavras:
x216=(x)2(4)2
Tendo em conta que estamos a subtrair um quadrado a outro, podemos ver que que este polinómio representa uma diferença de quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar esta expressão:
a2b2=(a+b)(ab)
Neste caso, a=x e b=4. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)
Podemos verificar o que fizemos, garantindo que o produto destes dois fatores é x216.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x225.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x2100.

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar x2+25?
Seleciona a opção correta.

Exemplo 2: Factorizar 4x29

O coeficiente principal não tem de ser igual a 1 para se poder usar o padrão da diferença de quadrados. Na verdade, este padrão da diferença de quadrados pode ser usada aqui!
Isto deve-se a 4x2 e 9 serem ambos quadrados uma vez que 4x2=(2x)2 e 9=(3)2. Podemos usar esta informação para fatorizar o polinómio usando o padrão da diferença de quadrados:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)
Uma verificação rápida da multiplicação confirma a nossa resposta.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 25x24.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 64x281.

6) Fatoriza 36x21.

Problemas desafio

7*) Fatoriza x49.

8*) Fatoriza 4x249y2.

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