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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 14

Lição 5: Resolução de equações de 2.º grau pela lei do anulamento do produto
Matemática
Álgebra 1
Equações e funções de segundo grau
Resolução de equações de 2.º grau pela lei do anulamento do produto
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Resolução de equações de 2.º grau pela lei do anulamento do produto

Google Classroom
Aprender a resolver equações quadráticas como (x-1)(x+3) = 0 e como usar a fatorização para resolver outras formas de equações.

O que deves saber antes desta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, tens resolvido equações lineares, que incluem termos constantes — números — e termos com a variável elevada a1, uma vez que x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Também deves ter resolvido algumas equações de segundo grau, o que inclui a variável elevada a 2, calculando a raiz quadrada de ambos os membros da equação.
Nesta lição, vais aprender uma nova maneira de resolver equações de segundo grau. Mais especificamente, vais saber
  • Como resolver equações fatorizadas como left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 e
  • Como utilizar métodos de fatorização, de maneira a transformar outras equações left parenthesiscomo x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis numa forma fatorizada e resolvê-las.

Resolver equações de segundo grau com uma expressão fatorizada

Supõe que nos pedem para resolver a equação de segundo grau left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Este é um produto de duas expressões que é igual a zero. Observa que qualquer valor x que torne left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis ou left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis igual a zero tornará o seu produto igual a zero.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Substituindo x, equals, 1 ou x, equals, minus, 3 na equação vai resultar numa proposição verdadeira 0, equals, 0, portanto ambas são soluções da equação.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Resolve left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Seleciona a opção correta.

Resolve left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Seleciona a opção correta.

Pergunta para reflexão

Este método de resolução pode ser aplicado à equação left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6
Seleciona a opção correta.

A lei do anulamento do produto

Como sabemos que não existem mais soluções além das duas que encontramos usando este método?
A resposta é dada por uma lei simples, mas muito útil, chamada lei do anulamento do produto:
Se o produto de dois valores for igual a zero, então pelo menos um dos valores tem de ser zero.
Substituir x por qualquer valor diferente das nossas soluções resulta num produto de dois números diferentes de zero, o que significa que o produto certamente não é zero. Portanto, sabemos que as nossas soluções são as únicas possíveis.

Resolver uma equação de segundo grau recorrendo à fatorização

Supõe que queremos resolver a equação x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, então, temos apenas que fatorizar x, squared, minus, 3, x, minus, 10 e resolver como anteriormente!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 pode ser fatorizado como left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
A solução da equação é a seguinte:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Fatorizaça˜o.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Fatorização.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2& x&=5\end{aligned}
Agora é a tua vez de resolver algumas equações sozinho. Lembra-te que diferentes equações pedem métodos de fatorização diferentes.

Resolver x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Passo 1. Fatorizar x, squared, plus, 5, x como um produto de duas expressões lineares.\quad

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Passo 1. Fatorizar x, squared, minus, 11, x, plus, 28 como um produto de duas expressões lineares.\quad

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Passo 1. Fatorizar 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 como um produto de duas expressões lineares.\quad

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Resolver 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Passo 1. Fatorizar 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 como um produto de duas expressões lineares.\quad

Passo 2. Resolver a equação.
Seleciona a opção correta.

Manipular a equação antes da fatorização

Escrever a equação na forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.

Por exemplo: vê como pode ser resolvida a equação x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x.
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Subtrair 40 e somar x.x2+3x−40=0Combinar termos semelhantes.(x+8)(x−5)=0Fatorizar.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Subtrair 40 e somar }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Combinar termos semelhantes.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Fatorizar.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8& x&=5\end{aligned}
Antes de fatorizar, manipulámos a equação para que todos os termos estivessem no primeiro membro, e o segundo membro fosse zero. Só depois conseguimos fatorizar e usar o nosso método de resolução.

Simplificar a equação dividindo pelos fatores comuns

Por exemplo: vê como pode ser resolvida a equação 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0.
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Dividir por 2.(x−3)2=0Fatorizar.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Dividir por 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Fatorizar.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Inicialmente, todos os termos tinham um fator comum igual a 2, então dividimos ambos os membros por 2 — o segundo membro continuou a ser igual zero — o que facilitou a fatorização.
Resolve agora por ti algumas equações semelhantes.
Seleciona as soluções da equação.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Seleciona todas as respostas corretas:

Seleciona as soluções da equação.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Seleciona todas as respostas corretas:

Seleciona as soluções da equação.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Seleciona todas as respostas corretas:

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