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Revisão sobre o binómio discriminante

O binómio discriminante é a parte da fórmula resolvente sob o símbolo de raiz quadrada: b^2 - 4ac. O binómio discriminante indica-nos se há duas soluções, uma solução ou se não há soluções.

Revisão rápida da fórmula resolvente

A fórmula resolvente diz que

x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction

para qualquer equação do segundo grau como:

start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0, para a, does not equal, 0

O que é o binómio discriminante?

O start color #e07d10, start text, b, i, n, o, with, \', on top, m, i, o, space, d, i, s, c, r, i, m, i, n, a, n, t, e, end text, end color #e07d10 é a parte da fórmula resolvente que está dentro da raiz quadrada.

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, squared, minus, 4, a, c, end color #e07d10, end square root, divided by, 2, a, end fraction

O binómio discriminante pode ser positivo, zero, ou negativo e isto determina quantas soluções tem a equação quadrática dada.

Um binómio discriminante positivo indica que a expressão quadrática tem dois números reais distintos como solução.
Um binómio discriminante igual a zero indica que a expressão quadrática tem um número real repetido como solução.
Um binómio discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é um número real.

Queres compreender estas regras a um nível mais profundo? Vê este vídeo.

Exemplo

Dão-nos uma equação quadrática e perguntam-nos quantas soluções tem:

6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0

A partir da equação, temos:

a, equals, 6
b, equals, 10
c, equals, minus, 1

Inserindo estes valores no binómio discriminante, temos:

\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}

Este é um número positivo, então a função quadrática tem duas soluções.

Isto faz sentido se pensarmos no gráfico correspondente.

Observe como cruza o eixo das abcissas em dois pontos. Por outras palavras, há duas soluções que têm um valor y igual a 0, por isso deve haver duas soluções para nossa equação original: 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0.

Pratica

Problema 1

Atual

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 24, x, plus, 48

Qual é o valor do binómio discriminante de f?

Quantos números reais distintos são raízes de f?

Queres praticar mais? Vê este exercício.

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