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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 14

Lição 7: Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
Matemática
Álgebra 1
Equações e funções de segundo grau
Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
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Resolução de equações quadráticas completando o quadrado

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Por exemplo, resolver x ²+ 6x = -2, manipulando a expressão e transformando-a em (x + 3)² = 7 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada.

O que deves saber antes desta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, resolvemos equações do segundo grau pela raiz quadrada ou por fatorização. Estes métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre é o caso.
Nesta lição, vamos aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado

Considera a equação x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Os métodos da raiz quadrada e da fatorização não são aplicavéis aqui.
Mas, nem toda a esperança está perdida! Podemos usar o método chamado completar o quadrado. Vamos começar pela solução e depois, analisá-la mais detalhadamente.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Adicionar 9, completar o quadrado.(3)(x+3)2=7Fatorizar a expressa˜o da esquerda.(4)(x+3)2=±7Aplicar a raiz quadrada.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Subtrair 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Adicionar 9, completar o quadrado.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Fatorizar a expressão da esquerda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)& & x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Subtrair 3.}\end{aligned}
Em conclusão, as soluções são x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 e x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

O que é que aconteceu?

Adicionar 9 a x, squared, plus, 6, x na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd teve o resultado feliz de transformar a expressão num caso notável, que pode ser fatorizado como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. Isto permitiu-nos resolver a equação aplicando a raiz quadrada.
É claro que isto não foi coincidência. O número 9 foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um caso notável.

Como completar o quadrado

Para entender porque é que se escolheu o 9 devemos fazer-nos a seguinte questão: Se x, squared, plus, 6, x é o início de um caso notável, qual deve ser o termo constante?
Vamos supor que a expressão pode ser fatorizada como o caso notável left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, onde o valor da constante a é ainda desconhecido. Esta expressão é desenvolvida como x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, que nos diz duas coisas:
  1. O coeficiente de x, que sabemos ser 6, deve ser igual a 2, a. Isso significa que a, equals, 3.
  2. O número constante que precisamos somar é igual a a, squared, ou seja, 3, squared, equals, 9.
Tenta completar alguns quadrados por ti próprio.
Problema 1
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x, squared, plus, 10, x ?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x, squared, minus, 2, x ?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5

Desafio
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x, squared, plus, b, dot, x?
Seleciona a opção correta.

Este desafio dá-nos um atalho para completar o quadrado, para aqueles que gostam de atalhos e não gostam de memorizar. Mostra-nos que, para completar a expressão x, squared, plus, b, x e torná-la num caso notável, onde b é qualquer número, precisamos adicionar left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared à expressão.
Por exempl, a fim de completar o quadrado x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x num caso notável, adicionámos left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 à expressão.

Mais resoluções de equações

Muito bem! Agora que estás um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Adicionar 25, completar o quadrado.(3)(x−5)2=13Fatorizar a expressa˜o aˋ esquerda.(4)(x−5)2=±13Aplicar a raiz quadrada.(5)x−5=±13(6)x=±13+5Adicionar 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Adicionar 25, completar o quadrado.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Fatorizar a expressão à esquerda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6) & & x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Adicionar 5.}\end{aligned}
Para tornar a expressão original da esquerda x, squared, minus, 10, x num caso notável, adicionámos 25 na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Como sempre, com equações, fizemos a mesma operação no segundo membro, o que fez aumentar de minus, 12 para 13.
Em geral, a escolha do número para adicionar à expressão para completar o quadrado não depende do segundo membro, mas devemos sempre adicionar esse número aos dois membros.
Agora é a tua vez de resolver algumas equações.
Problema 4
Resolver x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Seleciona a opção correta.

Problema 5
Resolver x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Seleciona a opção correta.

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante

Este é o aspeto da equação x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Subtrair x.(3)x2+4x=7Adicionar 6.(4)x2+4x+4=11Adicionar 4, completar o quadrado.(5)(x+2)2=11Fatorizar.(6)(x+2)2=±11Aplicar a raiz quadrada.(7)x+2=±11(8)x=±11−2Subtrair 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Subtrair }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Adicionar 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Adicionar 4, completar o quadrado.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Fatorizar.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)& & x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Subtrair 2.}\end{aligned}
Não ajuda completar o quadrado num dos membros da equação se tivermos um termo em x no outro membro. É por isso que subtraímos x na linha start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, colocando todos os termos com variáveis no primeiro membro.
Além do mais, para completar a expressão x, squared, plus, 4, x e transformá-la num caso notável, precisamos adicionar 4 à expressão. No entanto, antes de fazer isso, é preciso ter certeza de que todos os termos constantes estão no outro membro da equação. É por isso que adicionamos 6 na linha start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, isolando x, squared, plus, 4, x.

Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de x, squared é igual a 1.

Este é o aspeto da equação 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Dividir por 3.(3)x2−12x+36=22Adicionar 36, completar o quadrado.(4)(x−6)2=22Fatorizar.(5)(x−6)2=±22Aplicar a raiz quadrada.(6)x−6=±22(7)x=±22+6Adicionar 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Dividir por 3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Adicionar 36, completar o quadrado.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Fatorizar.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Aplicar a raiz quadrada.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)& & x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Adicionar 6.}\end{aligned}
O método de completar o quadrado só funciona se o coeficiente de x, squared for 1.
É por isso que na linha start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c dividimos pelo coeficiente de x, squared, que é 3.
Por vezes, ao dividir pelo coeficiente de x, squared, os outros coeficientes podem tornar-se frações. Isso não significa que se tenha feito algo de errado, mas apenas que para resolver a equação teremos de trabalhar com esses números.
Agora é a tua vez de resolver uma equação destas.
Problema 6
Resolver 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Seleciona a opção correta.

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