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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 14
Lição 7: Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado- Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
- Resolução de equações quadráticas completando o quadrado
- Completamento do quadrado: introdução
- Completamento do quadrado: termo constante em falta
- Exemplo resolvido: reescrever expressões por completamento do quadrado
- Exemplo resolvido: Reescrever e resolver equações por completamento do quadrado
- Completamento do quadrado: Termo de 2.º grau com coeficiente igual a 1
- Completamento do quadrado: Termo de 2.º grau com coeficiente diferente de 1
- Resolução de equações de 2.º grau por completamento do quadrado
- Exemplo 2: Completar o quadrado
- Completamento do quadrado (revisão)
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Resolução de equações quadráticas completando o quadrado
Por exemplo, resolver x ²+ 6x = -2, manipulando a expressão e transformando-a em (x + 3)² = 7 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada.
O que deves saber antes desta lição
O que vais aprender nesta lição
Até agora, resolvemos equações do segundo grau pela raiz quadrada ou por fatorização. Estes métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre é o caso.
Nesta lição, vamos aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.
Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado
Considera a equação x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Os métodos da raiz quadrada e da fatorização não são aplicavéis aqui.
Mas, nem toda a esperança está perdida! Podemos usar o método chamado completar o quadrado. Vamos começar pela solução e depois, analisá-la mais detalhadamente.
Em conclusão, as soluções são x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 e x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.
O que é que aconteceu?
Adicionar 9 a x, squared, plus, 6, x na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd teve o resultado feliz de transformar a expressão num caso notável, que pode ser fatorizado como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. Isto permitiu-nos resolver a equação aplicando a raiz quadrada.
É claro que isto não foi coincidência. O número 9 foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um caso notável.
Como completar o quadrado
Para entender porque é que se escolheu o 9 devemos fazer-nos a seguinte questão: Se x, squared, plus, 6, x é o início de um caso notável, qual deve ser o termo constante?
Vamos supor que a expressão pode ser fatorizada como o caso notável left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, onde o valor da constante a é ainda desconhecido. Esta expressão é desenvolvida como x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, que nos diz duas coisas:
- O coeficiente de x, que sabemos ser 6, deve ser igual a 2, a. Isso significa que a, equals, 3.
- O número constante que precisamos somar é igual a a, squared, ou seja, 3, squared, equals, 9.
Tenta completar alguns quadrados por ti próprio.
Este desafio dá-nos um atalho para completar o quadrado, para aqueles que gostam de atalhos e não gostam de memorizar. Mostra-nos que, para completar a expressão x, squared, plus, b, x e torná-la num caso notável, onde b é qualquer número, precisamos adicionar left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared à expressão.
Por exempl, a fim de completar o quadrado x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x num caso notável, adicionámos left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 à expressão.
Mais resoluções de equações
Muito bem! Agora que estás um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
Para tornar a expressão original da esquerda x, squared, minus, 10, x num caso notável, adicionámos 25 na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Como sempre, com equações, fizemos a mesma operação no segundo membro, o que fez aumentar de minus, 12 para 13.
Em geral, a escolha do número para adicionar à expressão para completar o quadrado não depende do segundo membro, mas devemos sempre adicionar esse número aos dois membros.
Agora é a tua vez de resolver algumas equações.
Como organizar a equação antes de completar o quadrado
Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante
Este é o aspeto da equação x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
Não ajuda completar o quadrado num dos membros da equação se tivermos um termo em x no outro membro. É por isso que subtraímos x na linha start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, colocando todos os termos com variáveis no primeiro membro.
Além do mais, para completar a expressão x, squared, plus, 4, x e transformá-la num caso notável, precisamos adicionar 4 à expressão. No entanto, antes de fazer isso, é preciso ter certeza de que todos os termos constantes estão no outro membro da equação. É por isso que adicionamos 6 na linha start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, isolando x, squared, plus, 4, x.
Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de x, squared é igual a 1.
Este é o aspeto da equação 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
O método de completar o quadrado só funciona se o coeficiente de x, squared for 1.
É por isso que na linha start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c dividimos pelo coeficiente de x, squared, que é 3.
Por vezes, ao dividir pelo coeficiente de x, squared, os outros coeficientes podem tornar-se frações. Isso não significa que se tenha feito algo de errado, mas apenas que para resolver a equação teremos de trabalhar com esses números.
Agora é a tua vez de resolver uma equação destas.
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