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Resolução de equações quadráticas completando o quadrado

Por exemplo, resolver x ²+ 6x = -2, manipulando a expressão e transformando-a em (x + 3)² = 7 e, em seguida, aplicando a raiz quadrada.

O que deves saber antes desta lição

O que vais aprender nesta lição

Até agora, resolvemos equações do segundo grau pela raiz quadrada ou por fatorização. Estes métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre é o caso.
Nesta lição, vamos aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações quadráticas, completando o quadrado

Considera a equação x2+6x=2. Os métodos da raiz quadrada e da fatorização não são aplicavéis aqui.
Mas, nem toda a esperança está perdida! Podemos usar o método chamado completar o quadrado. Vamos começar pela solução e depois, analisá-la mais detalhadamente.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Adicionar 9, completar o quadrado.(3)(x+3)2=7Fatorizar a expressão da esquerda.(4)(x+3)2=±7Aplicar a raiz quadrada.(5)x+3=±7(6)x=±73Subtrair 3.
Em conclusão, as soluções são x=73 e x=73.

O que é que aconteceu?

Adicionar 9 a x2+6x na linha (2) teve o resultado feliz de transformar a expressão num caso notável, que pode ser fatorizado como (x+3)2. Isto permitiu-nos resolver a equação aplicando a raiz quadrada.
É claro que isto não foi coincidência. O número 9 foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um caso notável.

Como completar o quadrado

Para entender porque é que se escolheu o 9 devemos fazer-nos a seguinte questão: Se x2+6x é o início de um caso notável, qual deve ser o termo constante?
Vamos supor que a expressão pode ser fatorizada como o caso notável (x+a)2, onde o valor da constante a é ainda desconhecido. Esta expressão é desenvolvida como x2+2ax+a2, que nos diz duas coisas:
  1. O coeficiente de x, que sabemos ser 6, deve ser igual a 2a. Isso significa que a=3.
  2. O número constante que precisamos somar é igual a a2, ou seja, 32=9.
Tenta completar alguns quadrados por ti próprio.
Problema 1
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x2+10x ?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x22x ?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x2+12x ?
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5

Desafio
Qual é o termo constante em falta no caso notável que começa por x2+bx?
Seleciona a opção correta.

Este desafio dá-nos um atalho para completar o quadrado, para aqueles que gostam de atalhos e não gostam de memorizar. Mostra-nos que, para completar a expressão x2+bx e torná-la num caso notável, onde b é qualquer número, precisamos adicionar (b2)2 à expressão.
Por exempl, a fim de completar o quadrado x2+6x num caso notável, adicionámos (62)2=9 à expressão.

Mais resoluções de equações

Muito bem! Agora que estás um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação x210x=12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Adicionar 25, completar o quadrado.(3)(x5)2=13Fatorizar a expressão à esquerda.(4)(x5)2=±13Aplicar a raiz quadrada.(5)x5=±13(6)x=±13+5Adicionar 5.
Para tornar a expressão original da esquerda x210x num caso notável, adicionámos 25 na linha (2). Como sempre, com equações, fizemos a mesma operação no segundo membro, o que fez aumentar de 12 para 13.
Em geral, a escolha do número para adicionar à expressão para completar o quadrado não depende do segundo membro, mas devemos sempre adicionar esse número aos dois membros.
Agora é a tua vez de resolver algumas equações.
Problema 4
Resolver x28x=5.
Seleciona a opção correta.

Problema 5
Resolver x2+3x=14.
Seleciona a opção correta.

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separar os termos com variáveis do termo constante

Este é o aspeto da equação x2+5x6=x+1:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Subtrair x.(3)x2+4x=7Adicionar 6.(4)x2+4x+4=11Adicionar 4, completar o quadrado.(5)(x+2)2=11Fatorizar.(6)(x+2)2=±11Aplicar a raiz quadrada.(7)x+2=±11(8)x=±112Subtrair 2.
Não ajuda completar o quadrado num dos membros da equação se tivermos um termo em x no outro membro. É por isso que subtraímos x na linha (2), colocando todos os termos com variáveis no primeiro membro.
Além do mais, para completar a expressão x2+4x e transformá-la num caso notável, precisamos adicionar 4 à expressão. No entanto, antes de fazer isso, é preciso ter certeza de que todos os termos constantes estão no outro membro da equação. É por isso que adicionamos 6 na linha (3), isolando x2+4x.

Regra 2: Certifica-te que o coeficiente de x2 é igual a 1.

Este é o aspeto da equação 3x236x=42:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Dividir por 3.(3)x212x+36=22Adicionar 36, completar o quadrado.(4)(x6)2=22Fatorizar.(5)(x6)2=±22Aplicar a raiz quadrada.(6)x6=±22(7)x=±22+6Adicionar 6.
O método de completar o quadrado só funciona se o coeficiente de x2 for 1.
É por isso que na linha (2) dividimos pelo coeficiente de x2, que é 3.
Por vezes, ao dividir pelo coeficiente de x2, os outros coeficientes podem tornar-se frações. Isso não significa que se tenha feito algo de errado, mas apenas que para resolver a equação teremos de trabalhar com esses números.
Agora é a tua vez de resolver uma equação destas.
Problema 6
Resolver 4x2+20x3=0.
Seleciona a opção correta.

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