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Completamento do quadrado (revisão)

O completamento do quadrado é uma técnica para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau). Este artigo revê a técnica com exemplos e ainda permite que pratiques a técnica.

O que é completar o quadrado?

Completar o quadrado é uma técnica para reescrever expressões quadráticas na forma left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, plus, b.
Por exemplo, x, squared, plus, 2, x, plus, 3 pode ser reescrito como left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2. As duas expressões são equivalentes, mas a segunda é mais fácil de trabalhar nalgumas situações.

Exemplo 1

Dão-nos uma função quadrática e pedem-nos para completar o quadrado.
x, squared, plus, 10, x, plus, 24, equals, 0
Começamos por deslocar o termo constante para o segundo membro.
x, squared, plus, 10, x, equals, minus, 24
Completamos o quadrado fazendo primeiro a metade do coeficiente do nosso termo em x, elevando-o depois ao quadrado, e ao adicionar o resultado aos dois membros da equação. Como o coeficiente do nosso termo em x é 10, metade é 5, e elevá-lo ao quadrado resulta em start color #11accd, 25, end color #11accd.
x, squared, plus, 10, x, start color #11accd, plus, 25, end color #11accd, equals, minus, 24, start color #11accd, plus, 25, end color #11accd
Agora podemos reescrever o primeiro membro da equação como um termo elevado ao quadrado.
left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared, equals, 1
Aplicar a raiz quadrada a ambos os membros.
x, plus, 5, equals, plus minus, 1
Isola o x para encontrar a(s) solução(ões).
x, equals, minus, 5, plus minus, 1
Queres aprender mais sobre completar o quadrado? Vê este vídeo.

Exemplo 2

Dão-nos uma função quadrática e pedem-nos para completar o quadrado.
4, x, squared, plus, 20, x, plus, 25, equals, 0
Primeiro, divide-se o polinómio por 4 (o coeficiente do termo x, squared).
x, squared, plus, 5, x, plus, start fraction, 25, divided by, 4, end fraction, equals, 0
Observa que o primeiro membro da equação já é um caso notável. O coeficiente do nosso termo x é 5 e metade é start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, que elevado ao quadrado resulta em start color #11accd, start fraction, 25, divided by, 4, end fraction, end color #11accd, o nosso termo constante.
Então podemos reescrever o primeiro membro da equação como um termo elevado ao quadrado.
left parenthesis, x, plus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 0
Aplicar a raiz quadrada a ambos os membros.
x, plus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, equals, 0
Isolamos x para encontrar a solução.
A solução é: x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction

Praticar

Problema 1
  • Atual
Completa o quadrado para reescrever esta expressão na forma left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, plus, b.
x, squared, minus, 2, x, plus, 17

Queres praticar mais? Vê estes exercícios:

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