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Completamento do quadrado (revisão)

O completamento do quadrado é uma técnica para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau). Este artigo revê a técnica com exemplos e ainda permite que pratiques a técnica.

O que é completar o quadrado?

Completar o quadrado é uma técnica para reescrever expressões quadráticas na forma (x+a)2+b.
Por exemplo, x2+2x+3 pode ser reescrito como (x+1)2+2. As duas expressões são equivalentes, mas a segunda é mais fácil de trabalhar nalgumas situações.

Exemplo 1

Dão-nos uma função quadrática e pedem-nos para completar o quadrado.
x2+10x+24=0
Começamos por deslocar o termo constante para o segundo membro.
x2+10x=24
Completamos o quadrado fazendo primeiro a metade do coeficiente do nosso termo em x, elevando-o depois ao quadrado, e ao adicionar o resultado aos dois membros da equação. Como o coeficiente do nosso termo em x é 10, metade é 5, e elevá-lo ao quadrado resulta em 25.
x2+10x+25=24+25
Agora podemos reescrever o primeiro membro da equação como um termo elevado ao quadrado.
(x+5)2=1
Aplicar a raiz quadrada a ambos os membros.
x+5=±1
Isola o x para encontrar a(s) solução(ões).
x=5±1
Queres aprender mais sobre completar o quadrado? Vê este vídeo.

Exemplo 2

Dão-nos uma função quadrática e pedem-nos para completar o quadrado.
4x2+20x+25=0
Primeiro, divide-se o polinómio por 4 (o coeficiente do termo x2).
x2+5x+254=0
Observa que o primeiro membro da equação já é um caso notável. O coeficiente do nosso termo x é 5 e metade é 52, que elevado ao quadrado resulta em 254, o nosso termo constante.
Então podemos reescrever o primeiro membro da equação como um termo elevado ao quadrado.
(x+52)2=0
Aplicar a raiz quadrada a ambos os membros.
x+52=0
Isolamos x para encontrar a solução.
A solução é: x=52

Praticar

Problema 1
Completa o quadrado para reescrever esta expressão na forma (x+a)2+b.
x22x+17

Queres praticar mais? Vê estes exercícios:

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