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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 8
Lição 13: Introdução às funções inversas- Introdução às funções inversas
- Introdução às funções inversas
- Objetos e imagens de funções inversas
- Representação gráfica da inversa de uma função linear
- Aplicar a definição de função inversa
- Determinar as funções inversas: linear
- Expressão da função inversa: linear
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Introdução às funções inversas
Aprender o que é a inversa de uma função e calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, em geral, são funções "recíprocas" uma da outra.
Por exemplo, a função , representada no diagrama sagital, a faz corresponder , a faz corresponder , e a faz corresponder .
A inversa de , denota-se por , é a função que a faz corresponder , a faz corresponder e a faz corresponder , o conjunto de partida de é o conjunto de chegada da função e o conjunto de chegada de é o conjunto de partida da função .
Definir funções inversas
Geralmente, se numa função , corresponde a , então na função inversa, , corresponde a .
Podemos dizer que:
Vamos aprofundar esta definição através de alguns exemplos.
Exemplo 1: Diagrama de setas
Supõe que a função é definida pelo diagrama de setas acima. Qual é a imagem de pela função ?
Solução
Convém ter presente que os elementos do domínio da função inversa de uma função dada são os elementos do contradomínio da função dada.
Assim, para determinar , podemos determinar o objeto que tem imagem pela função . Isto porque se , então .
A partir do diagrama de setas vemos que , então .
Testa o teu conhecimento
Exemplo 2: Gráfico
Este é o gráfico da função . Qual é a imagem de pela função ?
Solução
Para determinar , podemos o objeto que tem imagem pela função . Isto porque se , então .
A partir do gráfico vemos que .
Portanto, .
Testa o teu conhecimento
Relação gráfica entre funções inversas
Os exemplos acima mostraram-nos a relação algébrica entre uma função e a sua inversa, mas também existe relação entre os seus gráficos!
Considera a função , representada no gráfico e na tabela de valores.
Da tabela de valores da função podemos deduzir a tabela de valores da função . E de cada um dos pontos do gráfico de , podemos deduzir um ponto do gráfico de , uma vez que se o ponto de coordenadas pertence ao gráfico de , então o ponto de coordenadas pertence ao gráfico de .
Isso dá-nos este gráfico e tabela de valores para .
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de e o gráfico de são simétricos em relação à reta .
Em geral, o gráfico de uma função e a sua inversa são simétrico em relação à reta .
Testa o teu conhecimento
Porquê estudar funções inversas?
Pode parecer aleatório este interesse por funções inversas, mas, na verdade, utilizamo-las a todo o tempo!
Considera que a equação pode ser usada para converter uma temperatura em graus Fahrenheit, , para uma temperatura em graus Celsius, .
Mas suponhamos que queríamos uma equação que fizesse o contrário - que convertesse a temperatura em graus Celsius para graus Fahrenheit. Isso descreve a função , a sua função inversa.
Usando um exemplo mais básico, resolvemos muitas equações em matemática "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Desta forma, estamos a utilizar a ideia de funções inversas para resolver equações.
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