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Conteúdo principal

Introdução às funções inversas

Aprender o que é a inversa de uma função e calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, em geral, são funções "recíprocas" uma da outra.
Por exemplo, a função f, representada no diagrama sagital, a 1 faz corresponder x, a 2 faz corresponder z, e a 3 faz corresponder y.
A inversa de f, denota-se por f, start superscript, minus, 1, end superscript, é a função que a x faz corresponder 1, a y faz corresponder 3 e a z faz corresponder 2, o conjunto de partida de f, start superscript, minus, 1, end superscript é o conjunto de chegada da função f e o conjunto de chegada de f, start superscript, minus, 1, end superscript é o conjunto de partida da função f .
Questão para Reflexão
Qual das opções seguintes é uma afirmação verdadeira?
Seleciona a opção correta.

Definir funções inversas

Geralmente, se numa função f, a corresponde a b, então na função inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, b corresponde a a.
\quad
Podemos dizer que:

f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a

Vamos aprofundar esta definição através de alguns exemplos.

Exemplo 1: Diagrama de setas

Supõe que a função h é definida pelo diagrama de setas acima. Qual é a imagem de 9 pela função h, start superscript, minus, 1, end superscript?

Solução

Convém ter presente que os elementos do domínio da função inversa de uma função dada são os elementos do contradomínio da função dada.
Assim, para determinar h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos determinar o objeto que tem imagem 9 pela função h. Isto porque se h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, então h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.
A partir do diagrama de setas vemos que h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, então h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Testa o teu conhecimento

Problema 1
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: Gráfico

Este é o gráfico da função g. Qual é a imagem de 7 pela função g, start superscript, minus, 1, end superscript?

Solução

Para determinar g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos o objeto que tem imagem minus, 7 pela função g. Isto porque se g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, x, então g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 7.
A partir do gráfico vemos que g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.
Portanto, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

Testa o teu conhecimento

Problema 2
Qual é a imagem de 4 pela função h, start superscript, minus, 1, end superscript?
Seleciona a opção correta.

Desafio
Se a função f é definida por f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2, qual é a imagem de 7 pela função f, start superscript, minus, 1, end superscript?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Relação gráfica entre funções inversas

Os exemplos acima mostraram-nos a relação algébrica entre uma função e a sua inversa, mas também existe relação entre os seus gráficos!
Considera a função f, representada no gráfico e na tabela de valores.
space, space, space, xf, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
minus, 1start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
space, space, space, 0space, space, space, 1
space, space, space, 1space, space, space, 2
space, space, space, 2space, space, space, 4
Da tabela de valores da função f podemos deduzir a tabela de valores da função f, start superscript, minus, 1, end superscript. E de cada um dos pontos do gráfico de f, podemos deduzir um ponto do gráfico de f, start superscript, minus, 1, end superscript, uma vez que se o ponto de coordenadas left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis pertence ao gráfico de f, start superscript, minus, 1, end superscript.
Isso dá-nos este gráfico e tabela de valores para f, start superscript, minus, 1, end superscript.
space, space, space, xf, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis
start fraction, 1, divided by, 4, end fractionminus, 2
start fraction, 1, divided by, 2, end fractionminus, 1
space, space, space, 1space, space, space, 0
space, space, space, 2space, space, space, 1
space, space, space, 4space, space, space, 2
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e o gráfico de y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis são simétricos em relação à reta y, equals, x.
Em geral, o gráfico de uma função e a sua inversa são simétrico em relação à reta y, equals, x.

Testa o teu conhecimento

Problema 3
Este é o gráfico da função y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Qual é a melhor opção para o gráfico de y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis?
Seleciona a opção correta.

Problema 4
O gráfico de y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis é uma reta que passa pelos pontos left parenthesis, 5, comma, 1, right parenthesis e left parenthesis, 2, comma, 7, right parenthesis.
Arrasta os pontos das extremidades do segmento verde para representar graficamente y, equals, h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis.

Porquê estudar funções inversas?

Pode parecer aleatório este interesse por funções inversas, mas, na verdade, utilizamo-las a todo o tempo!
Considera que a equação C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis pode ser usada para converter uma temperatura em graus Fahrenheit, F, para uma temperatura em graus Celsius, C.
Mas suponhamos que queríamos uma equação que fizesse o contrário - que convertesse a temperatura em graus Celsius para graus Fahrenheit. Isso descreve a função F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, a sua função inversa.
Usando um exemplo mais básico, resolvemos muitas equações em matemática "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Desta forma, estamos a utilizar a ideia de funções inversas para resolver equações.

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