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Assunto: Álgebra 1 > Tema 8

Lição 13: Introdução às funções inversas
Matemática
Álgebra 1
Funções
Introdução às funções inversas
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Introdução às funções inversas

Google Classroom
Aprender o que é a inversa de uma função e calcular inversas de funções que são dadas em tabelas ou gráficos.
Funções inversas, em geral, são funções "recíprocas" uma da outra.
Por exemplo, a função f, representada no diagrama sagital, a 1 faz corresponder x, a 2 faz corresponder z, e a 3 faz corresponder y.
A inversa de f, denota-se por f−1, é a função que a x faz corresponder 1, a y faz corresponder 3 e a z faz corresponder 2, o conjunto de partida de f−1 é o conjunto de chegada da função f e o conjunto de chegada de f−1 é o conjunto de partida da função f .
Questão para Reflexão
Qual das opções seguintes é uma afirmação verdadeira?
Seleciona a opção correta.

Definir funções inversas

Geralmente, se numa função f, a corresponde a b, então na função inversa, f−1, b corresponde a a.
Podemos dizer que:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Vamos aprofundar esta definição através de alguns exemplos.

Exemplo 1: Diagrama de setas

Supõe que a função h é definida pelo diagrama de setas acima. Qual é a imagem de 9 pela função h−1?

Solução

Convém ter presente que os elementos do domínio da função inversa de uma função dada são os elementos do contradomínio da função dada.
Assim, para determinar h−1(9), podemos determinar o objeto que tem imagem 9 pela função h. Isto porque se h−1(9)=x, então h(x)=9.
A partir do diagrama de setas vemos que h(6)=9, então h−1(9)=6.

Testa o teu conhecimento

Problema 1
g−1(3)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Exemplo 2: Gráfico

Este é o gráfico da função g. Qual é a imagem de 7 pela função g−1?

Solução

Para determinar g−1(−7), podemos o objeto que tem imagem −7 pela função g. Isto porque se g−1(7)=x, então g(x)=7.
A partir do gráfico vemos que g(−3)=−7.
Portanto, g−1(−7)=−3.

Testa o teu conhecimento

Problema 2
Qual é a imagem de 4 pela função h−1?
Seleciona a opção correta.

Desafio
Se a função f é definida por f(x)=3x−2, qual é a imagem de 7 pela função f−1?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Relação gráfica entre funções inversas

Os exemplos acima mostraram-nos a relação algébrica entre uma função e a sua inversa, mas também existe relação entre os seus gráficos!
Considera a função f, representada no gráfico e na tabela de valores.
   xf(x)
−214
−112
   0   1
   1   2
   2   4
Da tabela de valores da função f podemos deduzir a tabela de valores da função f−1. E de cada um dos pontos do gráfico de f, podemos deduzir um ponto do gráfico de f−1, uma vez que se o ponto de coordenadas (a,b) pertence ao gráfico de f, então o ponto de coordenadas (b,a) pertence ao gráfico de f−1.
Isso dá-nos este gráfico e tabela de valores para f−1.
   xf−1(x)
14−2
12−1
   1   0
   2   1
   4   2
Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de y=f(x) e o gráfico de y=f−1(x) são simétricos em relação à reta y=x.
Em geral, o gráfico de uma função e a sua inversa são simétrico em relação à reta y=x.

Testa o teu conhecimento

Problema 3
Este é o gráfico da função y=h(x).
Qual é a melhor opção para o gráfico de y=h−1(x)?
Seleciona a opção correta.

Problema 4
O gráfico de y=h(x) é uma reta que passa pelos pontos (5,1) e (2,7).
Arrasta os pontos das extremidades do segmento verde para representar graficamente y=h−1(x).

Porquê estudar funções inversas?

Pode parecer aleatório este interesse por funções inversas, mas, na verdade, utilizamo-las a todo o tempo!
Considera que a equação C=59(F−32) pode ser usada para converter uma temperatura em graus Fahrenheit, F, para uma temperatura em graus Celsius, C.
Mas suponhamos que queríamos uma equação que fizesse o contrário - que convertesse a temperatura em graus Celsius para graus Fahrenheit. Isso descreve a função F=95C+32, a sua função inversa.
Usando um exemplo mais básico, resolvemos muitas equações em matemática "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Desta forma, estamos a utilizar a ideia de funções inversas para resolver equações.

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