Introdução às funções inversas

Funções inversas, em geral, são funções "recíprocas" uma da outra.

Por exemplo, a função $f$f, representada no diagrama sagital, a $1$1 faz corresponder $x$x, a $2$2 faz corresponder $z$z, e a $3$3 faz corresponder $y$y.

A inversa de $f$f, denota-se por $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, é a função que a $x$x faz corresponder $1$1, a $y$y faz corresponder $3$3 e a $z$z faz corresponder $2$2, o conjunto de partida de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript é o conjunto de chegada da função $f$f e o conjunto de chegada de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript é o conjunto de partida da função $f$f .

Geralmente, se numa função $f$f, $a$a corresponde a $b$b, então na função inversa, $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, $b$b corresponde a $a$a.

Podemos dizer que:

Vamos aprofundar esta definição através de alguns exemplos.

Supõe que a função $h$h é definida pelo diagrama de setas acima. Qual é a imagem de $9$9 pela função $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript?

Convém ter presente que os elementos do domínio da função inversa de uma função dada são os elementos do contradomínio da função dada.

Assim, para determinar $h^{-1}(9)$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, podemos determinar o objeto que tem imagem $9$9 pela função $h$h. Isto porque se $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, então $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9.

A partir do diagrama de setas vemos que $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, então $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Este é o gráfico da função $g$g. Qual é a imagem de $7$7 pela função $g^{-1}$g, start superscript, minus, 1, end superscript?

Para determinar $g^{-1}(-7)$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, podemos o objeto que tem imagem $-7$minus, 7 pela função $g$g. Isto porque se $g^{-1}(7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, x, então $g(x)=7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 7.

A partir do gráfico vemos que $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.

Portanto, $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

Os exemplos acima mostraram-nos a relação algébrica entre uma função e a sua inversa, mas também existe relação entre os seus gráficos!

Considera a função $f$f, representada no gráfico e na tabela de valores.

Da tabela de valores da função $f$f podemos deduzir a tabela de valores da função $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript. E de cada um dos pontos do gráfico de $f$f, podemos deduzir um ponto do gráfico de $f^{ -1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, uma vez que se o ponto de coordenadas $(a,b)$left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis pertence ao gráfico de $f$f, então o ponto de coordenadas $(b,a)$left parenthesis, b, comma, a, right parenthesis pertence ao gráfico de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript.

Isso dá-nos este gráfico e tabela de valores para $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript.

Olhando para os gráficos juntos, vemos que o gráfico de $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e o gráfico de $y=f^{-1}(x)$y, equals, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis são simétricos em relação à reta $y=x$y, equals, x.

Em geral, o gráfico de uma função e a sua inversa são simétrico em relação à reta $y=x$y, equals, x.

Pode parecer aleatório este interesse por funções inversas, mas, na verdade, utilizamo-las a todo o tempo!

Considera que a equação $C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis pode ser usada para converter uma temperatura em graus Fahrenheit, $F$F, para uma temperatura em graus Celsius, $C$C.

Mas suponhamos que queríamos uma equação que fizesse o contrário - que convertesse a temperatura em graus Celsius para graus Fahrenheit. Isso descreve a função $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, a sua função inversa.

Usando um exemplo mais básico, resolvemos muitas equações em matemática "isolando a variável". Quando isolamos a variável, "desfazemos" o que está em torno dela. Desta forma, estamos a utilizar a ideia de funções inversas para resolver equações.