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Álgebra 1
Assunto: Álgebra 1 > Tema 5
Lição 1: Equação reduzida da retaEquação reduzida da reta
Aprende sobre a expressão algébrica de uma reta (na forma de equação reduzida da reta) e como interpretá-la para calcular o declive e a sua ordenada na origem (interseção em y).
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
- Deves saber o que são equações lineares com duas variáveis. Mais especificamente, deves saber que o gráfico de uma equação destas é uma reta. Se isto for novo para ti, vai até Equações com duas variáveis - Introdução.
- Também deves estar familiarizado com as seguintes propriedades de equações lineares: interseções com os eixos dos x, x e dos y, y e declive.
O que vais aprender nesta lição
- Qual é a expressão algébrica de uma equação linear com duas variáveis.
- Como encontrar o declive e a ordenada na origem de uma reta a partir da sua expressão algébrica.
- Como encontrar a expressão algébrica de uma reta a partir do seu declive e da sua ordenada na origem.
O que é a equação reduzida da reta?
A equação reduzida da reta é uma forma específica de escrever equações lineares, em ordem à variável y. Tem o seguinte aspeto. Que rufem os tambores...
Aqui, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 e start color #0d923f, b, end color #0d923f podem ser dois números reais. Por exemplo, estas são equações lineares na forma reduzida, pois estão escritas em ordem a y:
- y, equals, 2, x, plus, 1
- y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
- y, equals, 10, minus, 100, x
Por outro lado, estas equações lineares não estão na forma reduzida, pois não estão expressas em ordem a y:
- 2, x, plus, 3, y, equals, 5
- y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
- x, equals, 4, y, minus, 7
A forma reduzida é a maneira mais simples e intuitiva de representar uma equação linear. Vamos ver algumas das vantagens.
Os coeficientes da equação reduzida da reta
Para além de "arrumada" e simplificada, a forma reduzida tem a vantagem de indicar duas características da reta que a equação representa:
- O declive é start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
- A ordenada na origem (a interseção em y) é start color #0d923f, b, end color #0d923f. Por outras palavras, a reta interseta o eixo das ordenadas em left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Por exemplo, a reta y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f tem um declive de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 e a interseção com o eixo das ordenadas é left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Em inglês, esta forma de representar equações lineares designa-se slope-intercept, uma vez que nos permite identificar o declive (slope) e a interseção com o eixo das ordenadas (y-intercept)!
Testa o teu conhecimento
Por que é que isto funciona?
Talvez te perguntes por que razão, na equação reduzida da reta, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 nos indica o declive e start color #0d923f, b, end color #0d923f a ordenada na origem.
Será alguma espécie de magia? Um golpe de sorte? Bem, magia não é certamente. Em Matemática há sempre uma justificação. Nesta secção vamos falar um pouco desta propriedade tomando a equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f como exemplo.
Por que razão start color #0d923f, b, end color #0d923f indica a ordenada na origem
Na interseção com o eixo das ordenadas o valor de x é sempre zero. Então, se quisermos descobrir a ordenada na origem de y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, temos que substituir x, equals, 0 e resolver a equação em ordem a y.
Verificamos que start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x torna-se zero e resta-nos y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.
Por que razão start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 indica o declive
Vamos refrescar a nossa memória sobre o que é o declive exatamente: O declive é a razão da variação em y sobre a variação em x entre quaisquer dois pontos da reta.
Se considerarmos dois pontos onde a variação de x for exatamente 1 unidade, então, a variação de y será igual ao próprio declive.
Agora vamos ver o que acontece com os valores de y na equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f , à medida que os valores de x variam de forma constante 1 unidade.
x | y | |||
---|---|---|---|---|
0 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f | ||
1 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
2 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
3 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
4 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 |
Podemos ver que, cada vez que x aumenta 1 unidade, y aumenta start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 unidades. Isto acontece porque x determina o múltiplo de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 no cálculo de y.
Conforme descrito acima, a variação em y que corresponde ao aumento de 1 unidade em x, é igual ao declive da reta. Por este motivo, o declive é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
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