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Álgebra 1

Assunto: Álgebra 1 > Tema 5

Lição 1: Equação reduzida da reta
Matemática
Álgebra 1
Formas de equações lineares
Equação reduzida da reta
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Equação reduzida da reta

Google Classroom
Aprende sobre a expressão algébrica de uma reta (na forma de equação reduzida da reta) e como interpretá-la para calcular o declive e a sua ordenada na origem (interseção em y).

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

O que vais aprender nesta lição

  • Qual é a expressão algébrica de uma equação linear com duas variáveis.
  • Como encontrar o declive e a ordenada na origem de uma reta a partir da sua expressão algébrica.
  • Como encontrar a expressão algébrica de uma reta a partir do seu declive e da sua ordenada na origem.

O que é a equação reduzida da reta?

A equação reduzida da reta é uma forma específica de escrever equações lineares, em ordem à variável y. Tem o seguinte aspeto. Que rufem os tambores...
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Aqui, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 e start color #0d923f, b, end color #0d923f podem ser dois números reais. Por exemplo, estas são equações lineares na forma reduzida, pois estão escritas em ordem a y:
Por outro lado, estas equações lineares não estão na forma reduzida, pois não estão expressas em ordem a y:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
A forma reduzida é a maneira mais simples e intuitiva de representar uma equação linear. Vamos ver algumas das vantagens.

Os coeficientes da equação reduzida da reta

Para além de "arrumada" e simplificada, a forma reduzida tem a vantagem de indicar duas características da reta que a equação representa:
  • O declive é start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • A ordenada na origem (a interseção em y) é start color #0d923f, b, end color #0d923f. Por outras palavras, a reta interseta o eixo das ordenadas em left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Por exemplo, a reta y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f tem um declive de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 e a interseção com o eixo das ordenadas é left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Em inglês, esta forma de representar equações lineares designa-se slope-intercept, uma vez que nos permite identificar o declive (slope) e a interseção com o eixo das ordenadas (y-intercept)!

Testa o teu conhecimento

Problema 1
Qual é o declive da reta representada por y, equals, 5, x, minus, 7?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Qual é o declive da reta representada por y, equals, x, plus, 9?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta representada por y, equals, minus, 6, x, minus, 11 com o eixo dos y, y?
Seleciona a opção correta.

Problema 4
Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta representada por y, equals, 4, x com o eixo dos y, y?
Seleciona a opção correta.

Problema 5
Qual é o declive da reta representada por y, equals, 1, minus, 8, x?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 6
Qual das retas interseta o eixo dos y, y no ponto de coordenadas left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis?
Seleciona todas as respostas corretas:

Questão para Reflexão
Como podemos identificar o declive de uma reta representada pela sua equação reduzida?
Seleciona a opção correta.

Desafio 1
Qual das opções pode ser a equação da reta?
Seleciona a opção correta.

Desafio 2
Escreve a equação de uma reta cujo declive é 10 e a interseção com o eixo dos y, y tem coordenadas (0, -20).

Por que é que isto funciona?

Talvez te perguntes por que razão, na equação reduzida da reta, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 nos indica o declive e start color #0d923f, b, end color #0d923f a ordenada na origem.
Será alguma espécie de magia? Um golpe de sorte? Bem, magia não é certamente. Em Matemática há sempre uma justificação. Nesta secção vamos falar um pouco desta propriedade tomando a equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f como exemplo.

Por que razão start color #0d923f, b, end color #0d923f indica a ordenada na origem

Na interseção com o eixo das ordenadas o valor de x é sempre zero. Então, se quisermos descobrir a ordenada na origem de y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, temos que substituir x, equals, 0 e resolver a equação em ordem a y.
y=2x+1=2⋅0+1Substitui x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Substitui }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Verificamos que start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x torna-se zero e resta-nos y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Por que razão start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 indica o declive

Vamos refrescar a nossa memória sobre o que é o declive exatamente: O declive é a razão da variação em y sobre a variação em x entre quaisquer dois pontos da reta.
start text, D, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, y, divided by, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, x, end fraction
Se considerarmos dois pontos onde a variação de x for exatamente 1 unidade, então, a variação de y será igual ao próprio declive.
start text, D, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, V, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, m, space, end text, y
Agora vamos ver o que acontece com os valores de y na equação y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f , à medida que os valores de x variam de forma constante 1 unidade.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Podemos ver que, cada vez que x aumenta 1 unidade, y aumenta start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 unidades. Isto acontece porque x determina o múltiplo de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 no cálculo de y.
Conforme descrito acima, a variação em y que corresponde ao aumento de 1 unidade em x, é igual ao declive da reta. Por este motivo, o declive é start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Desafio 3
Completa a equação da reta.
y, equals

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