Revisão sobre sistemas de equações equivalentes

Dois sistemas de equações são equivalentes se tiverem a(s) mesma(s) ou mais solução(ões). Este artigo analisa como saber se dois sistemas são equivalentes.

Os sistemas de equações que têm a mesma solução são chamados sistemas equivalentes.

Dado um sistema de duas equações, podemos construir um sistema equivalente, substituindo uma equação pela soma das duas equações, ou substituindo uma equação por um múltiplo de si mesmo.

Em contrapartida, podemos ter a certeza que dois sistemas de equações não são equivalente se soubermos que a solução de um não é a solução do outro.

Nota: Esta ideia de sistemas equivalentes de equações aparece novamente em álgebra linear. No entanto, os exemplos e explicações deste artigo estão direccionadas para o nível do ensino secundário.

Exemplo 1

Dão-nos dois sistemas de equações e perguntam-nos se são equivalentes.

Sistema A	Sistema B
${\begin{cases} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{cases}$ ‍	${\begin{cases} - 12 x + 9 y = 7 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{cases}$ ‍

Se multiplicarmos a segunda equação do Sistema B por

3

, temos:

\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 2 \\ \Leftrightarrow 3 (3 x - 4 y) & = 3 (2) \\ \Leftrightarrow 9 x - 12 y & = 6 \end{aligned}

Substituindo a segunda equação do Sistema B com esta nova equação, obtemos um sistema equivalente:

{\begin{cases} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{cases}

Uau! Olha só! Este sistema é o mesmo que o Sistema A, o que significa que o Sistema A é equivalente ao Sistema B.

Queres aprender mais sobre sistemas de equações equivalentes? Vê este vídeo.

Exemplo 2

Dão-nos dois sistemas de equações e perguntam-nos se são equivalentes.

Sistema A	Sistema B
${\begin{cases} - 9 x - 4 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{cases}$ ‍	${\begin{cases} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{cases}$ ‍

Curiosamente, se somarmos as equações do Sistema A, obtemos:

\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ + 2 x + 5 y & = - 4 \\ - 7 x + y & = 1 \end{aligned}

Substituindo a primeira equação do Sistema A com esta nova equação, obtemos um sistema equivalente ao Sistema A:

{\begin{cases} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{cases}

E eis que... este é o Sistema B, o que significa que o Sistema A é equivalente ao Sistema B.

Exemplo 3

Dão-nos dois sistemas e pedem-nos para provar que não são equivalentes, ao encontrar uma solução de um que não é uma solução do outro.

Sistema A	Sistema B
${\begin{cases} - 4 x + 10 y & = 1 \\ - 1 x - 2 y & = - 3 \end{cases}$ ‍	${\begin{cases} - 9 x - y & = 8 \\ - 1 x - 2 y & = 4 \end{cases}$ ‍

Repara como os coeficientes de

x

y

são iguais nas segundas equações de ambos os sistemas. No entanto, os termos constantes das duas equações são diferentes!

Seja qual for o par de valores para

x

y

que faça o Sistema A ser verdadeiro, vai fazer o Sistema B ser falso. E vice versa.

Por exemplo,

x = 1

y = 1

é uma solução para a segunda equação do Sistema A, mas não é uma solução para a segunda equação do Sistema B.

Os Sistema A e Sistema B não são equivalentes.

Queres aprender mais sobre sistemas de equações não equivalentes? Vê este vídeo

Pratica

Problema 1

O professor do Orlando e da Elsa deu-lhes um sistema de equações lineares para resolver. Cada um deles fez alguns passos matemáticos que levaram aos sistemas mostrados na tabela abaixo.

	Professor
	$5 x + 3 y = - 1$ ‍
	$4 x - 9 y = 8$ ‍
Elsa		Orlando
$4 x - 9 y = 8$ ‍		$15 x + 9 y = - 3$ ‍
$9 x - 6 y = 7$ ‍		$4 x - 9 y = - 5$ ‍

Qual deles obteve um sistema que é equivalente ao sistema do professor?
Relembra que que dois sistemas lineares são "equivalentes" se tiverem a mesma solução.

Queres praticar mais? Vê este exercício.

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