Revisão do método de eliminação (sistemas de equações lineares)

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Este artigo revê a técnica com exemplos e dá-te a oportunidade de experimentar o método por ti mesmo.

O que é o método de eliminação?

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Repara que a primeira equação tem um termo de 7x7x e a segunda equação tem um termo de 7x-7x. Estes termos vão anular-se se somarmos as equações juntas — ou seja, vamos eliminar os termos com xx:
Resolvendo em ordem a yy, temos:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
A solução deste sistema é (1(\blueD{-1}, 1)\goldD{1}).
Podemos verificar a nossa solução colocando estes valores nas equações originais. Vamos tentar a segunda equação:
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Sim, verifica-se que a solução está correta.
Se tens dúvidas acerca deste processo funcionar, vê este vídeo introdutório para uma explicação passo a passo mais profundida.

Exemplo 2

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Podemos multiplicar a primeira equação por 4-4 para obter uma equação equivalente que tem um termo 16x\purpleD{-16x}. O nosso novo (mas equivalente!) sistema de equações tem este aspecto:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Ao adicionar as equações para eliminar os termos em xx, obtemos:
Resolvendo em ordem a yy, temos:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
A solução para o sistema é x=5x=\blueD{5}, y=0y=\goldD{0}.
Queres ver outro exemplo de resolver um problema complicado com o método de eliminação? Vê este video.
A carregar