Fatorizar expressões de 2º grau de qualquer tipo

Ligar tudo o que aprendeste sobre fatorização de expressões de 2º grau de forma a fatorizar qualquer tipo de expressão de 2º grau.

O que precisas saber para esta lição

Os métodos de fatorização seguintes serão usados nesta lição:

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo vais poder praticar a fatorização de expressões de quadráticas (de 2º grau), seja qual for a sua forma, utilizando todos estes métodos.

Introdução: Revisão de métodos de fatorização

MétodoExemploQuando se pode aplicar?
Colocar fatores comuns em evidência= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Se cada termo do polinómio tiver um fator comum (MMC ou m.d.c.).
Fórmula soma-produto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Se o polinómio está na forma x2+bx+cx^2+bx+c e há dois números cujo produto é cc e a soma é bb.
Método de agrupamento= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Se o polinómio está na forma ax2+bx+cax^2+bx+c e há números cujo produto é acac e a soma é bb.
Quadrado de polinómios= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Se o primeiro e último termos são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, raramente te vai ser dito que tipo de método(s) usar num problema de fatorização. Por isso é importante que desenvolvas algum tipo de lista de verificação para usares e te ajudar a facilitar o processo de fatorização.
Aqui está um exemplo dessa lista de verificação, na qual te é solicitado uma série de perguntas a fim de determinar como fatorizar o polinómio de 2º grau.

Fatorização de expressões de 2º grau

Antes de começar qualquer problema de fatorização, é útil escrever a sua expressão na forma padrão.
Só depois podes prosseguir para a lista de perguntas seguinte:
Pergunta 1: Existe um fator comum?
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.
Colocar o MMC ou m.d.c. em evidência é um passo muito importante no processo de fatorização, porque torna os números mais pequenos. Isto, por sua vez, facilita reconhecer os padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (ou seja, x216x ^ 2-16 ou 25x2925 x ^ 2-9)?
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b). Se não, seguir para a Pergunta 3.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio (ou seja, x210x+25x ^ 2-10 x + 25 ou 4x2+12x+94 x ^ 2 + 12 x + 9)?
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão a2±2ab+b=(a±b)22a ^ 2\pm2ab + b ^ =(a\pm b) 2 ^ 2. Se não, seguir para a Pergunta 4.
Pergunta 4:
a.) Há alguma expressão da forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Se não existir, seguir para a Pergunta 5. Se existir, ir para b).
b.) Existem fatores de cc cuja soma seja bb?
se sim, então fatorizar de acordo com a fórmula soma-produto. Caso contrário, a expressão quadrática não pode ser mais fatorizada.
Pergunta 5: Existem fatores de acac cuja soma seja bb?
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma ax2+bx+cax^2+bx+c com a1a\neq 1. Se existirem fatores de acac cuja soma seja bb, fatoriza-a recorrendo ao método de agrupamento. Caso contrário, a expressão do 2.º grau não pode ser decomposta em mais fatores.
Esta lista de verificação vai ajudar-te a garantir que já fatorizaste a expressão quadrática de forma completa!
Com isto no pensamento, vamos tentar alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorizar 5x2805x^2-80

Repara que a expressão já está na forma padrão. Podemos percorrer a lista de verificação.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O m.d.c. de 5x25x^2 e 8080 é 55. Podemos colocar em evidência da seguinte forma:
5x280=5(x216)5x^2-80=5({x^2-16})
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Sim. x216=(x)2(4)2x^2-16=(\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2. Podemos usar a diferença de quadrados para continuar a fatorizar o polinómio como mostrado abaixo.
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Já não existem termos elevados ao quadrado nesta expressão. Fatorizámos o polinómio de forma completa.
Em conclusão, 5x280=5(x+4)(x4)5x^2-80=5(x+4)(x-4).

Exemplo 2: Fatorizar 4x2+12x+94x^2+12x+9

A expressão quadrática está outra vez na forma padrão. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Não. Os termos 4x24x^2, 12x12x e 99 não têm um fator comum. Pergunta seguinte.
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Existe um termo xx logo não pode ser uma diferença de quadrados. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um trinómio que seja um quadrado de polinómio?
Sim. O primeiro termo é um quadrado perfeito, uma vez que 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2, e o último termo é um quadrado perfeito, uma vez que 9=(3)29=(\greenD 3)^2. E o termo do meio também é duas vezes o produto da raíz quadrada desses números 12x=2(2x)(3)12x=2(\blueD{2x})(\greenD{3}).
Podemos usar o método do quadrado de polinómios para fatorizar a expressão quadrática.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Em conclusão, 4x2+12x+9=(2x+3)24x^2+12x+9=(2x+3)^2.

Exemplo 3: Fatorizar 12x63+3x212x-63+3x^2

Esta expressão quadrática não está na forma padrão. Podemos reescrevê-la como 3x2+12x633x^2+12x-63 e depois prosseguir com a lista de perguntas.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 3x23x^2, 12x12x e 6363 é 33. Podemos colocar este fator em evidência da seguinte forma:
3x2+12x63=3(x2+4x21)3x^2+12x-63=3(x^2+4x-21)
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Repara que 2121 não é um quadrado perfeito, logo esta expressão não pode ser um caso notável. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma x2+4x21x^2+4x-21.
Pergunta 4b: Existem fatores de cc cuja soma seja bb?**
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto é21-21 cuja soma é 44.
Uma vez que 7(3)=217\cdot(-3)=-21 e 7+(3)=47+(-3)=4, podemos continuar a fatorizar da seguinte forma:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Em conclusão, 3x2+12x63=3(x+7)(x3)3x^2+12x-63=3(x+7)(x-3).

Exemplo 4: Fatorizar 4x2+18x104x^2+18x-10

Repara que esta expressão quadrática já está na forma padrão.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 4x24x^2, 18x18x e 1010 é 22. Podemos fatorizar a expressão da seguinte forma:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)4x^2+18x-10=2(2x^2+9x-5)
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x2+bx+cx^2+bx+c?
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é 22. Pergunta seguinte.
Pergunta 4b: Existem fatores de cc cuja soma seja bb?
A expressão quadrática resultante é 2x2+9x52x^2+9x-5 e, como tal, pretendemos encontrar números (fatores) cujo produto seja 2(5)=102\cdot (-5)=-10 e cuja soma seja 99.
Uma vez que (1)10=10(-1)\cdot 10=-10 e (1)+10=9(-1)+10=9, a resposta é sim.
Podemos agora escrever o termos do meio como 1x+10x-1x+10x e usar o método de agrupar para fatorizar:
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)Separaço do termo do meioa˜=2((2x21x)+(10x5))Agrupar termos=2(x(2x1)+5(2x1))Colocar em evidncia MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcelaeˆ=2(2x1)(x+5)Colocar  em evidncia(2x1)eˆ\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Separação do termo do meio}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcela}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Colocar $(2x-1)$ em evidência}}} \end{aligned}

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