Fatorização de expressões de 2º grau: quadrados do binómio

Aprender a fatorizar expressões de 2º grau que está na forma de "casos notáveis". Por exemplo, escrever x² + 6x + 9 como (x + 3)².
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, trata-se de inverter o processo de multiplicação do polinómio.
Neste artigo, vamos aprender a fatorizar trinómios que são casos notáveis usando fórmulas especiais. Isto inverte o processo de quadrado de um binómio, então talvez seja melhor compreenderes completamente isso antes de prosseguir.

Introdução: Fatorização de casos notáveis

Para desenvolver qualquer binómio, podemos aplicar um dos seguintes padrões ou fórmulas.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2(\blueD a+\greenD b)^2=\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
  • (ab)2=a22ab+b2(\blueD a-\greenD b)^2=\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
Repara que, aa and bb podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, supõe que queremos desenvolver (x+5)2(x+5)^2. Neste caso, a=x\blueD{a}=\blueD x e b=5\greenD b=\greenD5, logo temos:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Podes verificar esta fórmula, aplicando a multiplicação para desenvolver a expressão(x+5)2(x + 5) ^ 2.
O inverso deste processo é uma forma de fatorização. Se nós reescrevermos as equações na ordem inversa, encontramos um padrão para fatorizar polinómios da forma a2±2ab+b2a ^ 2\pm2ab + b ^ 2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
  • a22ab+b2 =(ab)2\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a-\greenD b)^2
Podemos aplicar o primeiro padrão para fatorizar x2+10x+25x ^ 2 + 10 x + 25. Aqui temos a=x\blueD a=\blueD x e b=5\greenD b=\greenD 5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Expressões desta forma são chamados caos notáveis da multiplicação. O nome reflete o fato deste tipo de polinómio com três termos ser considerado especial!
Vamos ver alguns exemplos em que podemos fatorizar casos notáveis usando este padrão.

Exemplo 1: Fatorizar x2+8x+16x^2+8x+16

Observa que tanto o primeiro como o último termos são quadrados perfeitos: x2=(x)2x^2=(\blueD x)^2 and 16=(4)216=(\greenD4)^2. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2(x)(4)=8x2(\blueD x)(\greenD 4)=8x.
Isto indica-nos que o polinómio é um caso notável, e então podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
Neste caso, a=x \blueD{a}=\blueD{x} e b=4\greenD{b}=\greenD{4}. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão (x+4)2(x + 4) ^ 2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

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Exemplo 2: Fatorizar 4x2+12x+94x^2+12x+9

Não é necessário que o coeficiente principal de um caso notável seja 11.
Por exemplo, em 4x2+12x+94x^2+12x+9, observa que tanto o primeiro como o último termos são quadrados perfeitos: 4x2=(2x)24x^2=(\blueD {2x})^2 and 9=(3)29=(\greenD3)^2. Além disso, repara que o termo do meio é duas vezes o produto dos números que estão ao quadrado: 2(2x)(3)=12x2(\blueD {2x})(\greenD 3)=12x.
Como satisfaz as condições acima, 4x2+12x+94x^2+12x+9 também é um caso notável. Portanto, podemos usar o seguinte padrão de fatorização.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
Neste caso, a=2x \blueD{a}=\blueD{2x} and b=3\greenD{b}=\greenD{3}. Logo, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Podemos verificar o resultado desenvolvendo a expressão (2x+3)2(2x+3)^2.

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