Aprender a colocar um fator comum em envidência de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatorizar 6x² + 10x como 2x(3x + 5).

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

O MMC (maior monómio comum) de dois ou mais monómios é o produto de todos os seus fatores primos comuns. Por exemplo, o maior fator comum de 6x6x e 4x24x^2 é 2x2x.
Se isto for uma novidade para ti, talvez seja melhor veres o artigo maior monómio comum.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como fatorizar polinómios, pondo em evidência um fator comum.

Propriedade distributiva: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

Para compreender como fatorizar polinómios, é preciso compreender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3x23x^2 e 4x+34x+3 como se mostra abaixo:
Repara que cada termo do binómio foi multiplicado por um fator comum de 3x2\tealD{3x^2}.
Como a propriedade distributiva é uma igualdade, o inverso deste processo também é verdadeiro!
Se começarmos com 3x2(4x)+3x2(3)3x^2(4x)+3x^2(3), podemos usar a propriedade distributiva para pôr em evidência 3x2\tealD{3x^2} e obter a expressão fatorizada 3x2(4x+3)3x^2(4x+3).
A expressão resultante está na forma fatorizada porque está escrita como um produto de dois polinómios, enquanto que a expressão original é uma soma de dois termos.

Testa o teu conhecimento

Colocar em evidência o maior monómio comum (MMC)

Colocar em evidência o maior monómio comum de um polinómio, é preciso fazer o seguinte:
  1. Descobrir o MMC entre os termos de um polinómio.
  2. Expressa cada termo como um produto de MMC e outro fator.
  3. Usa a propriedade distributiva e coloca o MMC em evidência.
Vamos colocar o MMC de 2x36x22x^3-6x^2 em evidência.
Passo 1: Descobrir o MMC
  • 2x3=2xxx2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 6x2=23xx6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}
Então o MMC de 2x36x22x^3-6x^2 é 2xx=2x2\maroonD2 \cdot \goldD x \cdot \goldD x=\tealD{2x^2}.
Passo 2: Expressa cada termo como um produto de 2x2\tealD{2x^2} e outro fator.
  • 2x3=(2x2)(x)2x^3=(\tealD{2x^2})({x})
  • 6x2=(2x2)(3)6x^2=(\tealD{2x^2})({3})
Então o polinómio pode ser escrito como 2x36x2=(2x2)(x)(2x2)(3)2x^3-6x^2=(\tealD{2x^2})( x)-(\tealD{2x^2}) ( 3).
Passo 3: Usa a propriedade distributiva e coloca o MMC em evidência.
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar 2x2\tealD{2x^2} em evidência.
Verificar o resultado
Podemos verificar a fatorização multiplicando 2x22x^2 para "dentro" do polinómio (aplicando a propriedade distributiva).
Uma vez que este é o mesmo que o polinómio original, a fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

Podemos ser mais eficientes?

Se te sentes confortável com o processo de MMC para fatorizar, podes usar um método mais rápido:
Quando soubermos o MMC, a forma fatorizada é simplesmente o produto desse MMC e a soma dos termos do polinómio original a dividir pelo MMC.
Vê, por exemplo, este método rápido para fatorizar 5x2+10x5x^2+10x, cujo MFC é 5x \tealD{5x}:
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)5x^2+10x=\tealD{5x}\left(\dfrac{5x^2}{\tealD{5x}}+\dfrac{10x}{\tealD{5x}}\right)=\tealD{5x}(x+2)

Colocar fatores binomiais em evidência

O fator comum de um polinómio não tem de ser um monómio.
Por exemplo, considera o polinómio x(2x1)4(2x1)x(2x-1)-4(2x-1).
Repara que o binómio 2x1 \tealD{2x-1} é comum a ambos os termos. Podemos colocá-lo em evidência, usando a propriedade distributiva:

Testa o teu conhecimento

Diferentes tipos de fatorizações

Pode parecer que usámos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
  • Fatorizámos monómios escrevendo-os como o produto de outros monómios. Por exemplo, 12x2=(4x)(3x)12x^2=(4x)(3x).
  • Colocámos em evidência o MMC de polinómios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2x2+12x=2x(x+6)2x^2+12x=2x(x+6).
  • Colocámos em evidência fatores binomiais comuns que deu origem a uma expressão igual ao produto de dois binómios. Por exemplo x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2).
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em cada caso escrevemos o polinómio como um produto de dois ou mais fatores. Por isso, nos três exemplos, fatorizámos realmente o polinómio.

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