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Assunto: Álgebra 2 > Tema 3

Lição 3: Fatores comuns de um polinómio

Fatorização de polinómios colocando um fator comum em evidência

Aprender a colocar um fator comum em envidência de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatorizar 6x² + 10x como 2x(3x + 5).

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

Para encontrar o máximo divisor comum de

a x^{n}

b x^{m}

, decompõe

a

b

num produto de fatores primos e escreve

x^{n}

x^{m}

como um produto de fatores de expoente 1. Por exemplo, o máximo divisor comum de

6 x

4 x^{2}

2 x

Se isto for uma novidade para ti, talvez seja melhor veres o artigo maior fator comum.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como fatorizar polinómios, pondo em evidência um fator comum.

Propriedade distributiva: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Para compreender como fatorizar polinómios, é preciso compreender a propriedade distributiva.

Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de

3 x^{2}

4 x + 3

como se mostra abaixo:

Repara que cada termo do binómio foi multiplicado por um fator comum de

3 x^{2}

Como a propriedade distributiva é uma igualdade, o inverso deste processo também é verdadeiro!

Se começarmos com

(3 x^{2} \times 4 x) + (3 x^{2} \times 3)

, podemos usar a propriedade distributiva para pôr em evidência

3 x^{2}

e obter a expressão fatorizada

3 x^{2} (4 x + 3)

A expressão resultante está na forma fatorizada porque está escrita como um produto de dois polinómios, enquanto que a expressão original é uma soma de dois termos.

Testa o teu conhecimento

1) Escreve $2 x \times 3 x + 2 x \times 5$ ‍ na forma fatorizada.

Colocar em evidência o máximo divisor comum (m. d. c.)

Colocar em evidência o maior monómio comum de um polinómio, é preciso fazer o seguinte:

Descobrir o m.d.c. entre os termos de um polinómio.
Expressar cada termo como um produto de m.d.c.e outro fator.
Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Vamos colocar o m.d.c. de

2 x^{3} - 6 x^{2}

em evidência.

Passo 1: Descobrir o m.d.c.

$2 x^{3} = 2 \times x \times x \times x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \times 3 \times x \times x$ ‍

Então o m.d.c. de

2 x^{3} - 6 x^{2}

2 \times x \times x = 2 x^{2}

Passo 2: Expressar cada termo como um produto de $2 x^{2}$ ‍ e outro fator.

$2 x^{3} = 2 x^{2} \times x$ ‍
$6 x^{2} = 2 x^{2} \times 3$ ‍

Então o polinómio pode ser escrito como

2 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} \times x - 2 x^{2} \times 3

Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar

2 x^{2}

em evidência.

Verificar o resultado

Podemos verificar a fatorização multiplicando

2 x^{2}

para "dentro" do polinómio (aplicando a propriedade distributiva).

Uma vez que este é o mesmo que o polinómio original, a fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

2) Usa a propriedade distributiva e coloca o m.d.c. de $12 x^{2} + 18 x$ ‍ em evidência.

Passo 1: Descobrir o m.d.c.

$12 x^{2} = 2 \times 2 \times 3 \times x \times x$ ‍
$18 x = 2 \times 3 \times 3 \times x$ ‍

Então o m.d.c. de

12 x^{2} + 18 x

2 \times 3 \times x

6 x

Passo 2: Expressar cada termo como um produto de $6 x$ ‍ e outro fator.

$12 x^{2} = 6 x \times 2 x$ ‍
$18 x = 6 x \times 3$ ‍

O polinómio pode ser escrito como

12 x^{2} + 18 x = (6 x \times 2 x) + (6 x \times 3)

Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar

6 x

em evidência.

Em conclusão, o resultado de colocar o m.d.c. de $12 x^{2} + 18 x$ ‍ em evidência é $6 x (2 x + 3)$ ‍.

3) Coloca em evidência o m.d.c. do seguinte polinómio.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Passo 1: Descobrir o m.d.c.

$10 x^{2} = 2 \times 5 \times x \times x$ ‍
$25 x = 5 \times 5 \times x$ ‍
$15 = 3 \times 5$ ‍

Então o m.d.c. de

10 x^{2} + 25 x + 15

5

Passo 2: Expressar cada termo como um produto de $5$ ‍ e outro fator.

$10 x^{2} = 5 \times 2 x^{2}$ ‍
$25 x = 5 \times 5 x$ ‍
$15 = 5 \times 3$ ‍

O polinómio pode ser escrito como

10 x^{2} + 25 x + 15 = 5 \times 2 x^{2} + 5 \times 5 x + 5 \times 3

Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar

5

em evidência.

Em conclusão, o resultado de colocar o m.d.c. de $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍ em evidência é $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍.

4) Coloca em evidência o m.d.c. do seguinte polinómio.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Passo 1: Descobrir o m.d.c.

$x^{4} = x \times x \times x \times x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \times 2 \times 2 \times x \times x \times x$ ‍
$x^{2} = x \times x$ ‍

Então o m.d.c. de

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

x \times x

, ou

x^{2}

Passo 2: Expressar cada termo como um produto de $x^{2}$ ‍ e outro fator.

$x^{4} = x^{2} \times x^{2}$ ‍
$8 x^{3} = x^{2} \times 8 x$ ‍
$x^{2} = x^{2} \times 1$ ‍

O polinómio pode ser escrito como

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = x^{2} \times x^{2} - x^{2} \times 8 x + x^{2} \times 1

Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar

x^{2}

em evidência.

Em conclusão, o resultado de colocar o m.d.c. de $x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}$ ‍ em evidência é $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍.

Podemos ser mais eficientes?

Se te sentes confortável com o processo de fatorização através do m.d.c., podes usar um método mais rápido:

Quando soubermos o m.d.c., a forma fatorizada é simplesmente o produto desse m.d.c. e a soma dos termos do polinómio original a dividir pelo m.d.c..

Vê, por exemplo, este método rápido para fatorizar

5 x^{2} + 10 x

, cujo m.d.c. dos dois termos é

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Colocar fatores binomiais em evidência

O fator comum de um polinómio não tem de ser um monómio.

Por exemplo, considera a expressão algébrica

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Repara que o binómio

2 x - 1

é comum a ambas as parcelas. Podemos colocá-lo em evidência, usando a propriedade distributiva:

Testa o teu conhecimento

5) Fatoriza o seguinte polinómio.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Diferentes tipos de fatorizações

Pode parecer que usámos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:

Fatorizámos monómios escrevendo-os como o produto de outros monómios. Por exemplo, $12 x^{2} = 4 x \times 3 x$ ‍.
Colocámos em evidência o md.c. dos termos do polinómio usando a propriedade distributiva. Por exemplo, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Colocámos em evidência fatores binomiais comuns que deu origem a uma expressão igual ao produto de dois binómios. Por exemplo $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍.

Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em cada caso escrevemos o polinómio como um produto de dois ou mais fatores. Por isso, nos três exemplos, fatorizámos realmente o polinómio.

Problemas desafio

6*) Fatoriza o seguinte polinómio.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Passo 1: Descobrir o m.d.c.

$12 x^{2} y^{5} = 2 \times 2 \times 3 \times x \times x \times y \times y \times y \times y \times y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \times 3 \times 5 \times x \times x \times x \times x \times y \times y$ ‍

Então o m.d.c. entre os termos do polinómio

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

6 x^{2} y^{2}

Passo 2: Expressar cada termo como um produto de $6 x^{2} y^{2}$ ‍ e outro fator.

$12 x^{2} y^{5} = 6 x^{2} y^{2} \times 2 y^{3}$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 6 x^{2} y^{2} \times 5 x^{2}$ ‍

O polinómio pode ser escrito como

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2} \times 2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2} \times 5 x^{2})

Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.

Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar

6 x^{2} y^{2}

em evidência.

Escrevemos o polinómio fatorizado como

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

7*) Um retângulo grande com uma área de

14 x^{4} + 6 x^{2}

metros quadrados é dividido em dois retângulos mais pequenos com áreas de

14 x^{4}

6 x^{2}

metros quadrados.

A largura do retângulo (em metros) é igual ao máximo divisor comum entre

14 x^{4}

6 x^{2}

Qual é o comprimento e a largura do retângulo grande?

Largura =

metros

Comprimento =

metros

Sabemos que o comprimento do retângulo é igual ao máximo divisor comum (m.d.c.) entre

14 x^{4}

6 x^{2}

$14 x^{4} = 2 \times 7 \times x \times x \times x \times x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \times 3 \times x \times x$ ‍

Uma vez que o m.d.c. é

2 x^{2}

, a largura do retângulo é

2 x^{2}

Podemos descobrir o comprimento do retângulo encontrando os comprimentos dos dois retângulos mais pequenos. Vamos fazer isso usando a fórmula da área

Área = Comprimento \times Largura

e o facto de

l = 2 x^{2}

$\begin{aligned} Rectângulo de área 14 x^{4} \\ 14 x^{4} = c \times 2 x^{2} \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = c \\ 7 x^{2} = c \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} Retângulo de área 6 x^{2} \\ 6 x^{2} = c \times 2 x^{2} \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = c \\ 3 = c \end{aligned}$ ‍

Podemos adicionar estes comprimentos para descobrir que o comprimento do retângulo grande é

7 x^{2} + 3

Repara que obteríamos o mesmo resultado se apenas tivéssemos colocado

2 x^{2}

em evidência em relação à área do retângulo grande,

14 x^{4} + 6 x^{2}

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

De qualquer maneira, vemos que o comprimento do retângulo grande é $7 x^{2} + 3$ ‍ metros.

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