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Fundamentos de Álgebra

Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 5

Lição 3: Método de substituição para sistemas de equações

Revisão do método da substituição (sistemas de equações)

O método da substituição é uma técnica para resolver sistemas de equações. Este artigo analisa a técnica com vários exemplos e alguns problemas práticos para experimentares por ti próprio.

O que é o método da substituição?

O método da substutuição é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:

{\begin{cases} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{cases}

A segunda equação está resolvida em ordem a

x

, logo podemos substituir

x

pela expressão

- y + 3

na primeira equação:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ \Leftrightarrow 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ \Leftrightarrow - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ \Leftrightarrow - 2 y & = - 12 \\ \Leftrightarrow y & = 6 \end{aligned}

Ao substituirmos este valor

y

na primeira equação,

x = - y + 3

, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ \Leftrightarrow x & = - (6) + 3 \\ \Leftrightarrow x & = - 3 \end{aligned}

A solução do sistema de equações é

x = - 3

y = 6

Podemos verificar a nossa solução colocando estes valores nas equações originais. Vamos tentar em

3 x + y = - 3

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

Sim, verifica-se que a solução está correta.

Exemplo 2

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:

{\begin{cases} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{cases}

Para se utilizar o método da substituição, é preciso resolver em ordem a

x

y

numa das equações. Vamos resolver em ordem a

y

na segunda equação:

{\begin{cases} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{cases}

Podemos agora substituir

y

pela expressão

2 x + 9

na primeira equação do nosso sistema:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ \Leftrightarrow 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ \Leftrightarrow 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ \Leftrightarrow 27 x + 90 & = 36 \\ \Leftrightarrow 3 x + 10 & = 4 \\ \Leftrightarrow 3 x & = - 6 \\ \Leftrightarrow x & = - 2 \end{aligned}

Ao substituirmos este valor

x

na outra equação,

y = 2 x + 9

, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ \Leftrightarrow y & = 2 (- 2) + 9 \\ \Leftrightarrow y & = - 4 + 9 \\ \Leftrightarrow y & = 5 \end{aligned}

A solução do sistema de equações é

x = - 2

y = 5

Queres aprender mais sobre o método da substituição? Vê este vídeo.

Praticar

Problema 1

Resolve o seguinte sistema de equações.

{\begin{cases} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{cases}

x =

y =

Queres praticar mais? Vê este exercício.

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