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Fundamentos de Álgebra

Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 7

Lição 6: Fatorização de equações de 2.º grau - 2
Matemática
Fundamentos de Álgebra
Equações de 2.º grau e polinómios
Fatorização de equações de 2.º grau - 2
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Fatorizar polinómios de 2.º grau

Google Classroom
Aprender como fatorizar expressões de 2.º grau como o produto de dois binómios lineares. Por exemplo, 2x² +7x +3 = (2x+1)(x+3).

O que precisas saber antes desta lição

O método de agrupamento pode ser usado para fatorizar polinómios com 4 termos, colocando várias vezes em evidência fatores comuns. Se isto é novo para ti, talvez seja melhor veres o artigo Introdução à fatorização pelo método de agrupamento.
Também recomendamos que analises o artigo fatorização de expressões quadráticas com coeficiente principal 1 antes de prosseguir.

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo, usaremos o método de agrupamento de expressões quadráticas (de 2.º grau) com um coeficiente principal diferente de 1, como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Exemplo 1: Fatorizar 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Tendo em conta que o coeficiente principal left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis é start color #11accd, 2, end color #11accd, não podemos usar o método soma-produto para fatorizar a expressão quadrática.
Em vez disso, para fatorizar start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (o coeficiente principal vezes o termo constante) e uma soma de start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (o coeficiente de x).
Tendo em conta que start color #01a995, 1, end color #01a995, times, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 e start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, esses dois números são start color #01a995, 1, end color #01a995 e start color #01a995, 6, end color #01a995.
Estes dois números dizem-nos como separar o termo de x da expressão original. Então podemos expressar o polinómio como 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Agora já podemos usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Agrupar termos=x(2x+1)+3(2x+1)Colocar x e 3 em evideˆncia=x(2x+1)+3(2x+1)Fator comum!=(2x+1)(x+3)Colocar em evideˆncia 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Colocar $x$ e $3$ em evidência}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência } 2x+1}} \end{aligned}
A forma fatorizada é left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Podemos verificar o que fizemos e ao multiplicar voltamos a 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Resumo

Em geral, podemos usar as seguintes etapas para fatorizar uma expressão quadrática (de 2.º grau) da forma start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Começar por encontrar dois números que ao multiplicar-se dão start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff e adicionados dão start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Usar esses números para separar o termo em x.
  3. Usar o método de agrupamento para fatorizar a expressão quadrática.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Exemplo 2: Fatorizar 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Para fatorizar start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, precisamos encontrar dois inteiros com um produto de start color #11accd, 6, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 e uma soma de start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Tendo em conta que start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 e start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, esses dois números são start color #01a995, 3, end color #01a995 e start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Podemos agora escrever o termo minus, 5, x como a soma de start color #01a995, 3, end color #01a995, x e start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x e usar o método de agrupamento para fatorizar o polinómio:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Agrupar termos(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Colocar em evideˆncia os MFC da 1ª e da 2ª parcelas(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Simplificar(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Fator comum!(5)=(2x+1)(3x−4)Colocar em evideˆncia 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência os MFC da 1ª e da 2ª parcelas}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Simplificar}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Fator comum!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência } 2x+1}}\\ \end{aligned}
A forma fatorizada é left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Podemos verificar o que fizemos, mostrando que ao multiplicar voltamos a 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Toma nota: No passo start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd acima, repara que, de forma a manter a expressão equivalente à original, introduziu-se um "+" entre os grupos porque o terceiro termo é negativo. Igualmente, no passo start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, foi preciso colocar em evidência um fator negativo do segundo grupo para se descobrir o fator comum de 2, x, plus, 1. Tem cuidado com os sinais!

Testa o teu conhecimento

3) Fatoriza 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Seleciona a opção correta.

4) Fatoriza 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Fatoriza 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Quando é que esta estratégia é útil?

Bem, claramente, esta estratégia é útil para fatorizar expressões quadráticas (de 2.º grau) na forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c, mesmo quando a, does not equal, 1.
No entanto, nem sempre é possível usar esta estratégia para fatorizar uma expressão quadrática desta forma.
Por exemplo, vamos ver a expressão start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Para a fatorizar, é preciso encontrar dois inteiros com um produto de start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 e uma soma de start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Verás que, após várias tentativas, não existem esses dois números inteiros.
Portanto, a estratégia não funciona para start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff e para muitas outras expressões quadráticas.
É útil lembrar que, se esta estratégia não funcionar, significa que a expressão não pode ser fatorizada como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis onde A, B, C e D são números inteiros.

Porque é que esta estratégia funciona?

Vamos dar um mergulho profundo e perceber por que é que esta estratégia é tão bem sucedida. Teremos de usar muitas letras, mas por favor, tem paciência e fica connosco!
Supõe que a expressão quadrática geral a, x, squared, plus, b, x, plus, c pode ser fatorizada como left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis com números inteiros A, B, C e D.
Quando desenvolvemos a expressão, com a propriedade distributiva, obtemos a expressão quadrática left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Uma vez que a expressão é equivalente a a, x, squared, plus, b, x, plus, c, os coeficientes correspondentes nas duas expressões devem ser iguais! Isto dá-nos a seguinte relação entre todas as letras desconhecidas:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Agora, vamos definir m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 e n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
De acordo com esta definição...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
e
m, times, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, times, c
E assim start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 e start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff são os dois números inteiros que estamos sempre a procurar quando estamos a usar esta estratégia de fatorização!
O próximo passo do método, depois de encontrar o m e n, é separar o coeficiente de x, left parenthesis, b, right parenthesis, de acordo com m e n e fatorizar usando o método de agrupamento.
Com efeito, se separarmos o termo com x, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, em left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, vamos ser capazes de usar o método do agrupamento para fatorizar a nossa expressão de volta a left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Em conclusão, nesta seção...
  • Começámos com a expressão expandida geral a, x, squared, plus, b, x, plus, c e sua fatorização geral left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • Fomos capazes de encontrar dois números, m e n, tal que m, n, equals, a, c e m, plus, n, equals, b left parenthesisfizemos isso definindo m, equals, B, C e n, equals, A, D, right parenthesis,
  • Separámos o b, x do termo em x para m, x, plus, n, x e fomos capazes de fatorizar a expressão para left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Este processo mostra por que razão, se uma expressão pode realmente ser fatorizada como left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, este método garante que encontramos essa fatorização.
Obrigado por teres sobrevivido!

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