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Fundamentos de Álgebra
Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 7
Lição 4: Fatorização de polinómios (colocando fatores comuns em evidência)- Decomposição em fatores utilizando a propriedade distributiva
- Fatorização de polinómios colocando um fator comum em evidência
- Divisor comum de binómios
- Exemplo de fatorização de polinómio de grau 4
- Divisor comum: modelo de área
- Decomposição de polinómios em fatores: fator comum
- Fatorizar polinómios: fator comum
- Fatorização colocando um fator comum em evidência - Revisão
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Fatorização de polinómios colocando um fator comum em evidência
Aprender a colocar um fator comum em envidência de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatorizar 6x² + 10x como 2x(3x + 5).
Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição
Para encontrar o máximo divisor comum de e , decompõe e num produto de fatores primos e escreve e como um produto de fatores de expoente 1. Por exemplo, o máximo divisor comum de e é .
Se isto for uma novidade para ti, talvez seja melhor veres o artigo maior fator comum.
O que vais aprender nesta lição
Nesta lição, vais aprender como fatorizar polinómios, pondo em evidência um fator comum.
Propriedade distributiva:
Para compreender como fatorizar polinómios, é preciso compreender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de e como se mostra abaixo:
Repara que cada termo do binómio foi multiplicado por um fator comum de .
Como a propriedade distributiva é uma igualdade, o inverso deste processo também é verdadeiro!
Se começarmos com , podemos usar a propriedade distributiva para pôr em evidência e obter a expressão fatorizada .
A expressão resultante está na forma fatorizada porque está escrita como um produto de dois polinómios, enquanto que a expressão original é uma soma de dois termos.
Testa o teu conhecimento
Colocar em evidência o máximo divisor comum (m. d. c.)
Colocar em evidência o maior monómio comum de um polinómio, é preciso fazer o seguinte:
- Descobrir o m.d.c. entre os termos de um polinómio.
- Expressar cada termo como um produto de m.d.c.e outro fator.
- Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.
Vamos colocar o m.d.c. de em evidência.
Passo 1: Descobrir o m.d.c.
Então o m.d.c. de é .
Passo 2: Expressar cada termo como um produto de e outro fator.
Então o polinómio pode ser escrito como .
Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o m.d.c. em evidência.
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar em evidência.
Verificar o resultado
Podemos verificar a fatorização multiplicando para "dentro"
do polinómio (aplicando a propriedade distributiva).
Uma vez que este é o mesmo que o polinómio original, a fatorização está correta!
Testa o teu conhecimento
Podemos ser mais eficientes?
Se te sentes confortável com o processo de fatorização através do m.d.c., podes usar um método mais rápido:
Quando soubermos o m.d.c., a forma fatorizada é simplesmente o produto desse m.d.c. e a soma dos termos do polinómio original a dividir pelo m.d.c..
Vê, por exemplo, este método rápido para fatorizar , cujo m.d.c. dos dois termos é :
Colocar fatores binomiais em evidência
O fator comum de um polinómio não tem de ser um monómio.
Por exemplo, considera a expressão algébrica .
Repara que o binómio é comum a ambas as parcelas. Podemos colocá-lo em evidência, usando a propriedade distributiva:
Testa o teu conhecimento
Diferentes tipos de fatorizações
Pode parecer que usámos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
- Fatorizámos monómios escrevendo-os como o produto de outros monómios. Por exemplo,
. - Colocámos em evidência o md.c. dos termos do polinómio usando a propriedade distributiva. Por exemplo,
. - Colocámos em evidência fatores binomiais comuns que deu origem a uma expressão igual ao produto de dois binómios. Por exemplo
.
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em cada caso escrevemos o polinómio como um produto de dois ou mais fatores. Por isso, nos três exemplos, fatorizámos realmente o polinómio.
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