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Fundamentos de Álgebra

Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 7

Lição 4: Fatorização de polinómios (colocando fatores comuns em evidência)
Matemática
Fundamentos de Álgebra
Equações de 2.º grau e polinómios
Fatorização de polinómios (colocando fatores comuns em evidência)
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Fatorização de polinómios colocando um fator comum em evidência

Google Classroom
Aprender a colocar um fator comum em envidência de uma expressão polinomial. Por exemplo, fatorizar 6x² + 10x como 2x(3x + 5).

Com que conceitos deves estar familiarizado antes de iniciar esta lição

O MFC (maior fator comum) de dois ou mais monómios é o produto de todos os seus fatores primos comuns. Por exemplo, o maior fator comum de 6, x e 4, x, squared é 2, x.
Se isto for uma novidade para ti, talvez seja melhor veres o artigo maior fator comum.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender como fatorizar polinómios, pondo em evidência um fator comum.

Propriedade distributiva: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Para compreender como fatorizar polinómios, é preciso compreender a propriedade distributiva.
Por exemplo, podemos usar a propriedade distributiva para calcular o produto de 3, x, squared e 4, x, plus, 3 como se mostra abaixo:
Repara que cada termo do binómio foi multiplicado por um fator comum de start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995.
Como a propriedade distributiva é uma igualdade, o inverso deste processo também é verdadeiro!
Se começarmos com 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, podemos usar a propriedade distributiva para pôr em evidência start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995 e obter a expressão fatorizada 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
A expressão resultante está na forma fatorizada porque está escrita como um produto de dois polinómios, enquanto que a expressão original é uma soma de dois termos.

Testa o teu conhecimento

1) Escreve 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis na forma fatorizada.
Seleciona a opção correta.

Colocar em evidência o maior fator comum (MFC)

Colocar em evidência o maior monómio comum de um polinómio, é preciso fazer o seguinte:
  1. Descobrir o MFC entre os termos de um polinómio.
  2. Expressar cada termo como um produto de MFC e outro fator.
  3. Usar a propriedade distributiva e colocar o MFC em evidência.
Vamos colocar o MFC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared em evidência.
Passo 1: Descobrir o MFC
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Então o MFC de 2, x, cubed, minus, 6, x, squared é start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Passo 2: Expressar cada termo como um produto de start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 e outro fator.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Então o polinómio pode ser escrito como 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Passo 3: Usar a propriedade distributiva e colocar o MFC em evidência.
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e colocar start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 em evidência.
Verificar o resultado
Podemos verificar a fatorização multiplicando 2, x, squared para "dentro" do polinómio (aplicando a propriedade distributiva).
Uma vez que este é o mesmo que o polinómio original, a fatorização está correta!

Testa o teu conhecimento

2) Usa a propriedade distributiva e coloca o MFC de 12, x, squared, plus, 18, x em evidência.
Seleciona a opção correta.

3) Coloca em evidência o MFC do seguinte polinómio.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

4) Coloca em evidência o MFC do seguinte polinómio.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Podemos ser mais eficientes?

Se te sentes confortável com o processo de fatorização através do MFC, podes usar um método mais rápido:
Quando soubermos o MMC, a forma fatorizada é simplesmente o produto desse MMC e a soma dos termos do polinómio original a dividir pelo MMC.
Vê, por exemplo, este método rápido para fatorizar 5, x, squared, plus, 10, x, cujo MFC é start color #01a995, 5, x, end color #01a995:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, right parenthesis, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Colocar fatores binomiais em evidência

O fator comum de um polinómio não tem de ser um monómio.
Por exemplo, considera a expressão algébrica x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Repara que o binómio start color #01a995, 2, x, minus, 1, end color #01a995 é comum a ambas as parcelas. Podemos colocá-lo em evidência, usando a propriedade distributiva:

Testa o teu conhecimento

5) Coloca em evidência o MFC do seguinte polinómio.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Diferentes tipos de fatorizações

Pode parecer que usámos o termo "fator" para descrever vários processos diferentes:
  • Fatorizámos monómios escrevendo-os como o produto de outros monómios. Por exemplo, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Colocámos em evidência o MFC de polinómios usando a propriedade distributiva. Por exemplo, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Colocámos em evidência fatores binomiais comuns que deu origem a uma expressão igual ao produto de dois binómios. Por exemplo x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
Embora tenhamos usado técnicas diferentes, em cada caso escrevemos o polinómio como um produto de dois ou mais fatores. Por isso, nos três exemplos, fatorizámos realmente o polinómio.

Problemas desafio

6*) Coloca em evidência o MFC do seguinte polinómio.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

7*) Um retângulo grande com uma área de 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metros quadrados é dividido em dois retângulos mais pequenos com áreas de 14, x, start superscript, 4, end superscript e 6, x, squared metros quadrados.
A largura do retângulo (em metros) é igual ao maior fator comum de 14, x, start superscript, 4, end superscript and 6, x, squared.
Qual é o comprimento e a largura do retângulo grande?
start text, L, a, r, g, u, r, a, end text, equals
metros
start text, C, o, m, p, r, i, m, e, n, t, o, end text, equals
metros

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