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Fundamentos de Álgebra

Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 7

Lição 8: Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio
Matemática
Fundamentos de Álgebra
Equações de 2.º grau e polinómios
Fatorização de expressões de 2.º grau: quadrados do binómio
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Fatorizar expressões de 2.º grau de qualquer tipo

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Ligar tudo o que aprendeste sobre fatorização de expressões de 2.º grau de forma a fatorizar qualquer tipo de expressão de 2.º grau.

O que precisas saber para esta lição

Os métodos de fatorização seguintes serão usados nesta lição:

O que vais aprender nesta lição

Neste artigo vais poder praticar a fatorização de expressões de quadráticas (de 2.º grau), seja qual for a sua forma, utilizando todos estes métodos.

Introdução: Revisão de métodos de fatorização

MétodoExemploQuando se pode aplicar?
Colocar fatores comuns em evidência= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Se cada termo do polinómio tiver um fator comum (MMC ou m.d.c.).
Fórmula soma-produto= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Se o polinómio está na forma x, squared, plus, b, x, plus, c e há dois números cujo produto é c e a soma é b.
Método de agrupamento= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Se o polinómio está na forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c e há números cujo produto é a, c e a soma é b.
Quadrado de polinómios= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Se o primeiro e último termos são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas.
Diferença de quadrados=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Se a expressão representa uma diferença de quadrados.

Resumindo

Na prática, raramente te vai ser dito que tipo de método(s) usar num problema de fatorização. Por isso é importante que desenvolvas algum tipo de lista de verificação para usares e te ajudar a facilitar o processo de fatorização.
Aqui está um exemplo dessa lista de verificação, na qual te é solicitado uma série de perguntas a fim de determinar como fatorizar o polinómio de 2.º grau.

Fatorização de expressões de 2.º grau

Antes de começar qualquer problema de fatorização, é útil escrever a sua expressão na forma canónica.
Só depois podes prosseguir para a lista de perguntas seguinte:
Pergunta 1: Existe um fator comum?
Se não existir, passar para a pergunta 2. Se sim, colocar o MMC em evidência e continuar para a Pergunta 2.
Colocar o MMC ou m.d.c. em evidência é um passo muito importante no processo de fatorização, porque torna os números mais pequenos. Isto, por sua vez, facilita reconhecer os padrões!
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados (ou seja, x, squared, minus, 16 ou 25, x, squared, minus, 9)?
Se existir uma diferença de quadrados, fatorizar de acordo com o padrão a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Se não, seguir para a Pergunta 3.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio (ou seja, x, squared, minus, 10, x, plus, 25 ou 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Se está presente um quadrado de um polinómio, fatorizar usando o padrão a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Se não, seguir para a Pergunta 4.
Pergunta 4:
a.) Há alguma expressão da forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Se não existir, seguir para a Pergunta 5. Se existir, ir para b).
b.) Existem fatores de c cuja soma seja b?
se sim, então fatorizar de acordo com a fórmula soma-produto. Caso contrário, a expressão quadrática não pode ser mais fatorizada.
Pergunta 5: Existem fatores de a, c cuja soma seja b?
Se chegaste até aqui, a tua expressão deve ser da forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c com a, does not equal, 1. Se existirem fatores de a, c cuja soma seja b, fatoriza-a recorrendo ao método de agrupamento. Caso contrário, a expressão do 2.º grau não pode ser decomposta em mais fatores.
Esta lista de verificação vai ajudar-te a garantir que já fatorizaste a expressão quadrática de forma completa!
Com isto no pensamento, vamos tentar alguns exemplos.

Exemplo 1: Fatorizar 5, x, squared, minus, 80

Repara que a expressão já está na forma canónica. Podemos percorrer a lista de verificação.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O m.d.c. de 5, x, squared e 80 é 5. Podemos colocar em evidência da seguinte forma:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Sim. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar a diferença de quadrados para continuar a fatorizar o polinómio como mostrado abaixo.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Já não existem termos elevados ao quadrado nesta expressão. Fatorizámos o polinómio de forma completa.
Em conclusão, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Exemplo 2: Fatorizar 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

A expressão quadrática está outra vez na forma canónica. Vamos começar a lista de verificação!
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Não. Os termos 4, x, squared, 12, x e 9 não têm um fator comum. Pergunta seguinte.
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Existe um termo x logo não pode ser uma diferença de quadrados. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um trinómio que seja um quadrado de polinómio?
Sim. O primeiro termo é o quadrado de um monómio, uma vez que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, e o último termo é um quadrado perfeito, uma vez que 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. E o termo do meio também é duas vezes o produto da raíz quadrada desses números 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Podemos usar o método do quadrado de polinómios para fatorizar a expressão quadrática.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Em conclusão, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Exemplo 3: Fatorizar 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

Esta expressão quadrática não está na forma canónica. Podemos reescrevê-la como 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 e depois prosseguir com a lista de perguntas.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 3, x, squared, 12, x e 63 é 3. Podemos colocar este fator em evidência da seguinte forma:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Repara que 21 não é um quadrado perfeito, logo esta expressão não pode ser um caso notável. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Sim. A expressão quadrática resultante está na forma x, squared, plus, 4, x, minus, 21.
Pergunta 4b: Existem fatores de c cuja soma seja b?**
Sim. Mais especificamente, há números (fatores) cujo produto éminus, 21 cuja soma é 4.
Uma vez que 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 e 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, podemos continuar a fatorizar da seguinte forma:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Em conclusão, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Exemplo 4: Fatorizar 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

Repara que esta expressão quadrática já está na forma canónica.
Pergunta 1: Existe um factor comum?
Sim. O fator comum de 4, x, squared, 18, x e 10 é 2. Podemos fatorizar a expressão da seguinte forma:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Pergunta 2: Existe uma diferença de quadrados?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 3: Existe um caso notável que seja um quadrado de polinómio?
Não. Pergunta seguinte.
Pergunta 4a: Há alguma expressão da forma x, squared, plus, b, x, plus, c?
Não. O coeficiente principal do termo de segundo grau é 2. Pergunta seguinte.
Pergunta 4b: Existem fatores de c cuja soma seja b?
A expressão quadrática resultante é 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5 e, como tal, pretendemos encontrar números (fatores) cujo produto seja 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10 e cuja soma seja 9.
Uma vez que left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 e left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, a resposta é sim.
Podemos agora escrever o termos do meio como minus, 1, x, plus, 10, x e usar o método de agrupar para fatorizar:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Separaça˜o do termo do meio=2((2x2−1x)+(10x−5))Agrupar termos=2(x(2x−1)+5(2x−1))Colocar em evideˆncia MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcela=2(2x−1)(x+5)Colocar (2x−1) em evideˆncia\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Separação do termo do meio}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Agrupar termos}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Colocar em evidência MMC na primeira parcela e m.d.c na segunda parcela}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Colocar $(2x-1)$ em evidência}}} \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300 até não ser possível fatorizar mais.

3) Fatoriza 72, x, squared, minus, 2 até não ser possível fatorizar mais.

4) Fatoriza 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8 até não ser possível fatorizar mais.

6) Fatoriza 56, minus, 18, x, plus, x, squared até não ser possível fatorizar mais.

7) Fatoriza 3, x, squared, plus, 27 até não ser possível fatorizar mais.
Seleciona a opção correta.

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