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Fundamentos de Álgebra

Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 7

Lição 7: Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados
Matemática
Fundamentos de Álgebra
Equações de 2.º grau e polinómios
Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados
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Fatorização de expressões de 2.º grau: diferença de quadrados

Google Classroom
Aprender a fatorizar expressões de 2.º grau que estão na forma de "diferença de quadrados". Por exemplo, escrever x²-16 as (x+4)(x-4).
Fatorizar um polinómio implica escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinómios. Isto é, obtemos expressões que, multiplicadas, nos dão o pilonómio original.
Neste artigo, vamos aprender como usar a diferença de quadrados para fatorizar certos polinómios. Se não sabes o que é uma diferença de quadrados, por favor, vê este video antes de prosseguir.

Introdução: diferença de quadrados

Qualquer polinómio que seja uma diferença de quadrados pode ser fatorizado aplicando a seguinte fórmula:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Repara que a e b podem ser qualquer expressão algébrica. Por exemplo, para a, equals, x and b, equals, 2, temos a expressão seguinte:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
O polinómio x, squared, minus, 4 é agora expresso na forma fatorizada, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Podemos desenvolver o lado direito desta equação para justificar a fatorização:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Agora que entendemos o padrão, vamos usá-lo para fatorizar mais alguns polinómios.

Exemplo 1: Factorizar x, squared, minus, 16

x, squared e 16 são ambos quadrados, uma vez que x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Por outras palavras:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Tendo em conta que estamos a subtrair um quadrado a outro, podemos ver que que este polinómio representa uma diferença de quadrados. Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar esta expressão:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Neste caso, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd e start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Portanto, o polinómio fica fatorizado da seguinte forma:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Podemos verificar o que fizemos, garantindo que o produto destes dois fatores é x, squared, minus, 16.

Testa o teu conhecimento

1) Fatoriza x, squared, minus, 25.
Seleciona a opção correta.

2) Fatoriza x, squared, minus, 100.

Pergunta para reflexão

3) Podemos usar o padrão da diferença de quadrados para fatorizar x, squared, plus, 25?
Seleciona a opção correta.

Exemplo 2: Factorizar 4, x, squared, minus, 9

O coeficiente principal não tem de ser igual a 1 para se poder usar o padrão da diferença de quadrados. Na verdade, este padrão da diferença de quadrados pode ser usada aqui!
Isto deve-se a 4, x, squared e 9 serem ambos quadrados uma vez que 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared e 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Podemos usar esta informação para fatorizar o polinómio usando o padrão da diferença de quadrados:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Uma verificação rápida da multiplicação confirma a nossa resposta.

Testa o teu conhecimento

4) Fatoriza 25, x, squared, minus, 4.
Seleciona a opção correta.

5) Fatoriza 64, x, squared, minus, 81.

6) Fatoriza 36, x, squared, minus, 1.

Problemas desafio

7*) Fatoriza x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Fatoriza 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

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