Seno e cosseno de ângulos complementares

Queremos demonstrar que o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar.

Vamos começar com um triângulo retângulo. Repara que os ângulos agudos são complementares, ou seja, somam 90${}^{\circ }$‍.

Agora, aqui está a parte curiosa. Vês como o seno de um ângulo agudo

descreve $\text{exatamente a mesma razão}$‍ que o cosseno do outro ângulo agudo?

Incrível! Ambas as funções, $\sin (\theta )$‍ e $\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍, resultam exatamente na mesma razão entre os lados de um triângulo retângulo.

E pronto! Demostrámos que $\sin (\theta )=\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Por outras palavras, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar.

Bem, apenas demostrámos isso para ângulos entre 0${}^{\circ }$‍ e 90${}^{\circ }$‍. Para que a nossa demonstração seja válida para todos os ângulos, precisaríamos ir além da trigonometria do triângulo retângulo, ir até ao mundo da trigonometria no círculo trigonométrico, mas este é um assunto para outra ocasião.

Deves ter notado que as palavras seno e cosseno soam semelhantes. Isso porque elas são cofunções! Quando duas funções são cofunções, o valor de uma para um certo ângulo $\theta$‍ é igual ao valor da outra para o ângulo complementar, ${90}^{\circ }-\theta$‍. Em geral, se $f$‍ e $g$‍ são cofunções, então

e

$g(\theta )=f({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Aqui está uma lista completa das cofunções trigonométricas básicas:

Quem quer que tenha dado nome às funções trigonométricas deve ter tido um profundo entendimento das relações entre elas!