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9.º ano

Assunto: 9.º ano > Tema 5

Lição 3: Álgebra

Revisão sobre demonstração da fórmula resolvente

Uma demonstração em texto (não vídeo) da fórmula resolvente

A fórmula resolvente diz que

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

para qualquer equação do segundo grau como:

a x^{2} + b x + c = 0

, para

a \neq 0

Se nunca viste a demonstração desta fórmula antes, talvez queiras assistir a esta vídeo demonstração, mas se estás apenas a fazer uma revisão e preferes ver a demonstração em texto, aqui está ela:

A demonstração

Começamos com a forma geral da equação e fazermos alguma manipulação algébrica para resolver em ordem a

x

. O ponto principal da demonstração é a técnica chamada

completar o quadrado

. Se não estiveres familiarizado com esta técnica, talvez seja melhor dares uma vista de olhos neste vídeo.

Parte 1: Completar o quadrado

\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 & (1) \\ a x^{2} + b x & = - c & (2) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = - \frac{c}{a} & (3) \\ x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (4) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \end{aligned}

Parte 2: Álgebra! Álgebra! Álgebra!

Lembra-te, o objetivo é resolver em ordem a

x

\begin{aligned} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} & (5) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} & (6) \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} & (7) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{\sqrt{4 a^{2}}} & (8) \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (9) \\ x & = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (10) \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} & (11) \end{aligned}

E já está!

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