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A fórmula resolvente das equações de 2.º grau

Mais conhecimento sobre a fórmula resolvente e forma como é usada em equações quadráticas

A fórmula resolvente é uma das fórmulas mais usadas em matemática. Não somos grandes adeptos da memorização de fórmulas, mas esta é bastante útil, e portanto deves sabê-la, mas também compreender como se deriva.
Se tiveres uma equação de segundo grau geral como esta:

a x^{2} + b x + c = 0

, para

a \neq 0

Então esta fórmula vai ajudar a descobrir as raízes da equação quadrática, isto é, os valores de

x

para os quais esta equação tem solução..

A fórmula resolvente

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Pode parecer assustadora, mas vais ver que a aprendes facilmente!
Experimenta usar a fórmula agora.

Exemplo resolvido

Primeiro precisamos de identificar os valores para a, b e c (os coeficientes). O primeiro passo é verificar se a equação está no formato acima:

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ é o coeficiente de $x^{2}$ ‍, portanto $a = 1$ ‍ (repara que $a$ ‍ não pode ser igual $0$ ‍ -- o termo em $x^{2}$ ‍ é o que torna esta expressão quadrática).
$b$ ‍ é o coeficiente de $x$ ‍, pelo que $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ é a constante, ou o termo sem $x$ ‍, logo $c = - 21$ ‍.

Depois inserimos

a

b

, e

c

na fórmula:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \times 1 \times (- 21)}}{2}

a resolução deve ser a seguinte:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Logo

x = 3

x = - 7

O que nos diz a solução?

As duas soluções são as interseções da equação com o eixo dos

x x

. A equação

x^{2} + 3 x - 4 = 0

representa-se assim:

onde as soluções dadas pela fórmula resolvente e as interseções são

x = - 4

x = 1

Podemos resolver uma equação do segundo grau através da fatorização, completamento de quadrado, ou graficamente, então por que precisamos da fórmula?

Porque às vezes equações quadráticas são muito mais difíceis de resolver do que o primeiro exemplo.

Segundo exemplo resolvido

Vamos tentar com uma equação difícil de fatorizar:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Vamos colocar todos os termos do lado esquerdo:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Pela fórmula:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \times 3 \times 10}}{2 \times 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Sabemos que quando trabalhamos com números reais não se pode obter a raiz quadrada de um número negativo, portanto deduzimos que não há soluções reais para esta equação. Isto significa que a função nunca interseta o eixo de x e não está definida em nenhum ponto onde

y = 0

. Podemos confirmar isto com uma calculadora gráfica:

Agora sabes o básico sobre a fórmula resolvente!
Haverá muitos mais exemplos resolvidos nos próximos vídeos.

Dicas para usar a fórmula resolvente

Confirma sempre que a equação está na forma: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍ caso contrário não vai funcionar!
Certifica-te que fazes a raiz quadrada de $(b^{2} - 4 a c)$ ‍, e que $2 a$ ‍ é o denominador
Cuidado com os números negativos: $b^{2}$ ‍ não pode ser negativo, por isso, se $b$ ‍ for negativo, certifica-te que muda para positivo pois o quadrado de um número, seja ele positivo ou negativo, o resultado é positivo
Mantém o sinal $+ / -$ ‍ e procura encontrar sempre DUAS soluções
Se usares calculadora, a resposta pode estar arredondada a um certo número de casas decimais. Se for pedido o valor exato (que acontece com furequência) e as raízes quadradas não forem facilmente simplificadas, mantém a raiz quadrada na resposta, como por exemplo: $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ e $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍