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Revisão sobre o binómio discriminante

O binómio discriminante é a parte da fórmula resolvente sob o símbolo de raiz quadrada: b^2 - 4ac. O binómio discriminante indica-nos se há duas soluções, uma solução ou se não há soluções.

Revisão rápida da fórmula resolvente

A fórmula resolvente diz que

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

para qualquer equação do segundo grau como:

a x^{2} + b x + c = 0

, para

a \neq 0

O que é o binómio discriminante?

binómio discriminante

é a parte da fórmula resolvente que está dentro da raiz quadrada.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

O binómio discriminante pode ser positivo, zero, ou negativo e isto determina quantas soluções tem a equação quadrática dada.

Um binómio discriminante positivo indica que a expressão quadrática tem dois números reais distintos como solução.
Um binómio discriminante igual a zero indica que a expressão quadrática tem um número real repetido como solução.
Um binómio discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é um número real.

Queres compreender estas regras a um nível mais profundo? Vê este vídeo.

Exemplo

Dão-nos uma equação quadrática e perguntam-nos quantas soluções tem:

6 x^{2} + 10 x - 1 = 0

A partir da equação, temos:

$a = 6$ ‍
$b = 10$ ‍
$c = - 1$ ‍

Inserindo estes valores no binómio discriminante, temos:

\begin{aligned} b^{2} - 4 a c \\ = & 10^{2} - 4 (6) (- 1) \\ = & 100 + 24 \\ = & 124 \end{aligned}

Este é um número positivo, então a função quadrática tem duas soluções.

Isto faz sentido se pensarmos no gráfico correspondente.

Observe como cruza o eixo das abcissas em dois pontos. Por outras palavras, há duas soluções que têm um valor

y

igual a

0

, por isso deve haver duas soluções para nossa equação original:

6 x^{2} + 10 x - 1 = 0

Pratica

Problema 1

f (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48

Qual é o valor do binómio discriminante de $f$ ‍?

Quantos números reais distintos são raízes de $f$ ‍?

Queres praticar mais? Vê este exercício.

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9.º ano

Assunto: 9.º ano > Tema 3

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