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9.º ano

Assunto: 9.º ano > Tema 3

Lição 3: Equações do 2.º grau

Revisão sobre resolução de equações do 2.º grau

Simples equações quadráticas como x^2 = 4 podem ser resolvidas por aplicação a raiz quadrada. Neste artigo são dados vários exemplos e tens oportunidade de praticar por ti.

Em geral, uma equação do segundo grau pode ser escrita como:

a x^{2} + b x + c = 0

, para

a \neq 0

Neste artigo, analisamos como resolver expressões quadráticas que podem ser resolvidas a partir da raiz quadrada — sem fatorizações ou equações quadráticas aqui; vamos chegar a essas técnicas mais tarde.

Exemplo 1

Dão-nos a equação

3 x^{2} - 7 = 5

e pedem para resolver em ordem a

x

O trabalho resume-se a:

\begin{aligned} 3 x^{2} - 7 & = 5 \\ 3 x^{2} & = 12 \\ x^{2} & = 4 \\ \sqrt{x^{2}} & = \pm \sqrt{4} \\ x & = \pm 2 \end{aligned}

Então, as nossas duas soluções são:

$x = 2$ ‍
$x = - 2$ ‍

Repara no símbolo

\pm

que se incluiu quando se aplicou a raiz quadrada. Este símbolo significa "mais ou menos," e é importante porque garante duas soluções. Queres uma explicação mais aprofundada? Vê este vídeo.

Vamos verificar ambas as soluções:

$x = 2$ ‍	$x = - 2$ ‍
$\begin{aligned} 3 x^{2} - 7 & = 5 \\ 3 \times (2)^{2} - 7 & = 5 \\ 3 \times 4 - 7 & = 5 \\ 12 - 7 & = 5 \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} 3 x^{2} - 7 & = 5 \\ 3 \times (- 2)^{2} - 7 & = 5 \\ 3 \times 4 - 7 & = 5 \\ 12 - 7 & = 5 \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Sim, verifica-se que as suas soluções estão corretas.

Exemplo 2

Dão-nos a equação

(x - 3)^{2} - 81 = 0

e pedem para resolver em ordem a

x

O trabalho resume-se a:

\begin{aligned} (x - 3)^{2} - 81 & = 0 \\ (x - 3)^{2} & = 81 \\ \sqrt{(x - 3)^{2}} & = \pm \sqrt{81} \\ x - 3 & = \pm 9 \\ x & = \pm 9 + 3 \end{aligned}

Então, as nossas duas soluções são:

$x = + 9 + 3 = 12$ ‍
$x = - 9 + 3 = - 6$ ‍

Vamos verificar ambas as soluções:

$x = 12$ ‍	$x = - 6$ ‍
$\begin{aligned} (x - 3)^{2} - 81 & = 0 \\ (12 - 3)^{2} - 81 & = 0 \\ 9^{2} - 81 & = 0 \\ 81 - 81 & = 0 \\ 0 & = 0 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} (x - 3)^{2} - 81 & = 0 \\ (- 6 - 3)^{2} - 81 & = 0 \\ (- 9)^{2} - 81 & = 0 \\ 81 - 81 & = 0 \\ 0 & = 0 \end{aligned}$ ‍

Sim! Estão ambas corretas.

Quer aprender mais sobre este tipo de problemas? Vê este vídeo.

Praticar

Resolve a equação em ordem a $x$ ‍.

(x + 1)^{2} - 36 = 0

Queres praticar mais? Vê este exercício

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